Chiamiamo la logica proposizionale, cioè l’insieme di tutte le formule rappresentabili con la sintassi della logica proposizionale (una delle interpretazioni dell’algebra di Boole) e chiamiamo il suo insieme di simboli (simboli proposizionali).
operatori logici
- not:
- and:
- or:
- implicazione materiale
- se e solo se:
definizioni
Le formule sono definite per induzione sulla struttura del linguaggio.
L’interpretazione di una formula è l’attribuzione del suo valore a vero o falso. Questo valore dipende dall’interpretazione dei simboli dell’espressione, su cui operano i gli operatori o connettivi logici.
Un’interpretazione che soddisfa la formula è detta modello. Un’interpretazione che non soddisfa la formula è detta contromodello.
Il valore di verità di un’espressione si determina con le tavole di verità.
- Se esiste almeno un modo di rendere la formula vera, la formula si chiama soddisfacibile.
- Se esiste non esiste un modo di rendere la formula vera, la formula si chiama insoddisfacibile.
- Se esiste almeno un modo di rendere la formula falsa, la formula si chiama falsificabile.
- Se non esiste un modo di rendere la formula falsa, la formula si chiama tautologia, valida, verità logica, o proprietà del linguaggio.
Se una di queste caratteristiche di una formula è definita con “esiste almeno un valore che rende la formula vera/falsa”, allora è definita tramite un esistenziale. Se una di queste caratteristiche di una formula è definita con “per ogni valore la formula vera/falsa”, allora è definita tramite un universale.
Due formule si dicono logicamente equivalenti quando tutte le implicazioni che rendono vera una rendono vera anche l’altra e viceversa.
Se le formule (premesse) sono vere e allora è vera anche (conclusione), si dice che è conseguenza logica di .
N.B.: La conseguenza logica è violata solo quando tutte le premesse sono vere, ma la conclusione è falsa.
N.B.: Se la premessa è falsa/insoddisfacibile, allora la conclusione è vera/tautologica, ciò è detto Principio di esplosione o verità vacua