serie

Una serie numerica $a_n$ è la successione delle somme (somme parziali) dei primi $n$ termini di una successione $a_n$.

N.B.: Sommare infiniti termini non è un procedimento naturale, quindi bisogna introdurre coerentemente un modo di farlo. Bisogna dare un significato matematicamente valido a: $S_n={\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n$

convergenza e divergenza

• Se $\exists {\lim }_{n\to +\infty }{s}_n$ allora ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n\in \mathbb{R}$ ha un significato:
  • se la somma è uguale a un numero, la serie converge.
  • se la somma è uguale a $\pm \infty$ allora la serie diverge.
• Se $\nexists {\lim }_{n\to +\infty }{s}_n$ allora ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n$ è indeterminata, privo di significato.

La condizione necessaria per la convergenza è ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=0$ ma non è sufficiente, ad esempio ${\sum }_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}$ la rispetta, però non converge.

esempi

$a_n=(-1{)}^n$ oscilla tra $1$ e $-1$ quindi non converge, controlliamo se $S_n={\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n$ $S_n$ oscilla tra $0$ e $1$, quindi non converge.

metodi per determinare convergenza e divergenza

• successione di Cauchy
• teorema dei carabinieri
• confronto asintotico

estensione della definizione a ogni indice

N.B.: La definizione di serie fornita sopra è incompleta, infatti l’indice di partenza della sommatoria può essere un numero qualsiasi*.

Infatti, *(solo se non si verificano forme indeterminate) vale che ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=S⟺{\lim }_{n\to +\infty }(S_n-S)=0$ Sostituendo $S$ e $S_n$ con le loro definizioni, otteniamo ${\lim }_{n\to +\infty }\left({\sum }_{k=1}^n{a}_k-{\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_k\right)={\lim }_{n\to +\infty }{\sum }_{k=n+1}^{+\infty }{a}_n\to S_n-S={\sum }_{k=n+1}^{+\infty }{a}_n$ Quindi $n$ può essere un numero arbitrario.

serie più comuni

• serie geometriche
• serie armoniche
• serie di Mengoli