esercizi con i teoremi delle funzioni

1

ipotesi

• $f(x)$ continua su $\mathbb{R}$
• ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$
• $f(-1)>0,f(1)<0$

tesi

• $f(x)$ si annulla 3 volte in $\mathbb{R}$.

dimostrazione

Per il teorema di esistenza degli zeri, che possiamo applicare perché la funzione è continua, $f(x)$ si deve annullare tra $-\infty$ e $-1$, $-1$ e $1$, $1$ e $+\infty$.

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2

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}$

Qual è il polinomio $P_0(x)$ di grado zero (una costante) che approssima meglio il valore di $f(x)$ in $x_0$?

$P_0(x)=f(x_0)$

2.1

Qual è il polinomio di grado zero che meglio approssima i valori di $f(x)$ (non conti nua) vicino a $x_0$?

$P_0(x)={\lim }_{x\to x_0}=f(x_0)$

Se $f$ è continua in $x_0$, esiste il “miglior” polinomio di grado zero ed è $P_0(x)=f(x_0)$. Per “migliore” si intende ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)-P_0(x)]=0$

$f(x)-P_0(x)$ = errore che si commette sostituendo $f(x)$ a $P(x)$

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