teoremi dei limiti sulle successioni

teorema di unicità del limite

Se il limite della successione esiste, allora è unico.

Esempio: $a_n=\frac{1}{n+1}$ ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}=0$ Tesi: $\exists n_{\epsilon }\in \mathbb{N}||\frac{1}{n+1}-0|\le ϵ\forall n\ge n_{\epsilon }$ $n\ge \frac{1}{\epsilon }-1⟺n_{\epsilon }=\frac{1}{\epsilon }-1$

teorema della distributività del limite

Siano

$a_n\to L\in \mathbb{R}$ $b_n\to M\in \mathbb{R}$

Allora

$a_n+b_n\to L+M$ $a_n-b_n\to L-M$ $a_n\times b_n\to L\times M$ $a_n/b_n\to L/M,M\ne 0$

teorema dei carabinieri (o del confronto)

$a_n\le b_n\le c_n$ $a_n\to L\text{ e }{c}_n\to L⟹b_n\to L$

teorema monocarabiniere

Date $a_n\ge b_n$

• Se $b_n\to +\infty ⟹a_n\to +\infty$
• Se $b_n\to -\infty ⟹a_n\to -\infty$

teorema $(1+h{)}^n\ge 1+nh$

Se $h>0$, si ha $(1+h{)}^n\ge 1+nh\forall n\in \mathbb{N}$

generalizzazione dei teoremi sui limiti

$a_n\to +\infty$ $b_n\to L$ $a_n+b_n\to +\infty$ $a_n-b_n\to +\infty$ $a_n{b}_n\to$

• $+\infty \text{ se }L>0$
• forma indeterminata se $L=0$
• $-\infty \text{ se }L<0$