distribuzione binomiale

Per $\mathbb{N}\ge 1$, sia $\Omega =\{0,1,2,\dots ,N\}$. La distribuzione binomiale di parametri $N\in \mathbb{N}$ e $p\in [0,1]$ è la misura di probabilità su $\Omega$ specificata dai pesetti $p_k$ definiti sotto.

$p_k$ è “la probabilità di vedere esattamente $k$ teste in $N$ lanci di moneta”

$$p_k=\underset{\text{numero "stringhe" favorevoli}}{\underbrace{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)}}\cdot \underset{\text{probabilitaˋ TESTE}}{\underbrace{p^k}}\cdot \underset{\text{probabilitaˋ CROCI}}{\underbrace{(1-p{)}^{N-k}}},k\le N,N\in \mathbb{N}$$

---

Esempio: calcoliamo la probabilità di vedere esattamente 3 teste in 5 lanci di una moneta truccata con $p=0.3$.

Stiamo cercando delle stringhe che abbiamo 3 $T$, ad esempio: $\left(\underset{p=0.3}{\underbrace{T}}\underset{p=0.7}{\underbrace{C}}\underset{p=0.7}{\underbrace{C}}\underset{p=0.3}{\underbrace{T}}\underset{p=0.3}{\underbrace{T}}\right)$, la cui probabilità di uscire è $0.3^3\cdot 0.7^2$.

Quante stringhe di 3 teste come $TCCTT$ esistono? $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ (combinazioni senza ripetizioni). Quindi la probabilità di vedere esattamente 3 teste in 5 lanci di una moneta truccata con $p=0.3$ è

$$\text{numero stringhe}\cdot \text{probabilitaˋ stringa}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot 0.3^3\cdot 0.7^2$$

---

Verifichiamo che questa è una valida distribuzione di probabilità:

1. $\forall k\in \{0,1,\dots ,N\}(p_k\in [0,1])$ Perché $p_k$ rappresenta la probabilità di vedere esattamente $k$ teste in $N$ lanci di moneta.
2. ${\sum }_{k=0}^N{p}_k=1$

Dimostrazione probabilistica:

$$\sum _{k=0}^{\mathbb{N}}{p}_k=\sum _{k=0}^N\mathbb{P}(\text{esattamente k teste in N lanci})=\mathbb{P}({\cup }_{k=0}^N\{\text{esattamente k teste in N lanci}\})=\Omega =1$$

Dimostrazione analitica:

$$\sum _{k=0}^N{p}_k=\sum _{n=1}^N\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K}\right)\cdot p^K\cdot (1-p{)}^{N-K}=(p+(1-p){)}^N=1^N=1$$

Teorema della scimmia

Una scimmia preme a caso i tasti di una macchina da scrivere 10 volte. Scrive una parola di lunghezza $n$ da un alfabeto di 26 lettere. Ci chiediamo quante A siano nella parola scritta.

Il numero di A è compreso tra $0$ e $n$.

$\mathbb{P}(\text{la parola contiene k A})=?$

È una scelta con ripetizione con ordine (disposizioni con ripetizioni consentite).

$\Omega =26^n$

$$\mathbb{P}(\text{la parola contiene k}A)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)25^{n-k}}{26^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)\frac{1^k\cdot 25^{n-k}}{26^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)\frac{1^k\cdot 25^{n-k}}{26^k\cdot 26^{n-k}}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot {\left(\frac{1}{26}\right)}^k\cdot {\left(1-\frac{1}{26}\right)}^{n-k}$$

Quindi il numero di A ha legge binomiale

$$\left(\underset{\text{numero di esperimenti}}{N},\underset{\text{probabilitaˋ di successo di ogni esperimento}}{\frac{1}{26}}\right)$$

N.B.: Il numero di successi in $N$ esperimenti identici e indipendenti, ognuno con probabilità $p$ di successo, ha legge binomiale $(N,p)$.

N.B.: Analogamente, il numero di esperimenti (identici e indipendenti) fino al primo successo ha legge geometrica ($p$) (probabilità di successo in un singolo esperimento).