distribuzione binomiale

Per $\mathbb{N}\ge 1$, sia $\Omega =\{0,1,2,\dots ,N\}$. La distribuzione binomiale di parametri $N\in \mathbb{N}$ e $p\in [0,1]$ è la misura di probabilità su $\Omega$ specificata dai pesetti $p_k$ definiti sotto.

$p_k$ è “la probabilità di vedere $k$ teste in $N$ lanci di moneta”

$$p_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{N-k},k\le N$$

Teorema della scimmia

Una scimmia preme a caso i tasti di una macchina da scrivere 10 volte. Scrive una parola di lunghezza $n$ da un alfabeto di 26 lettere. Ci chiediamo quante A siano nella parola scritta.

Il numero di A è compreso tra $0$ e $n$.

$\mathbb{P}(\text{la parola contiene k A})=?$

È una scelta con ripetizione con ordine (disposizioni con ripetizioni consentite).

$\Omega =26^n$

$$\mathbb{P}(\text{la parola contiene k}A)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)25^{n-k}}{26^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)\frac{1^k\cdot 25^{n-k}}{26^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{K}\right)\frac{1^k\cdot 25^{n-k}}{26^k\cdot 26^{n-k}}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot {\left(\frac{1}{26}\right)}^k\cdot {\left(1-\frac{1}{26}\right)}^{n-k}$$

Quindi il numero di A ha legge binomiale

$$\left(\underset{\text{numero di esperimenti}}{N},\underset{\text{probabilitaˋ di successo di ogni esperimento}}{\frac{1}{26}}\right)$$

N.B.: Il numero di successi in $N$ esperimenti identici e indipendenti, ognuno con probabilità $p$ di successo, ha legge binomiale $(N,p)$.

N.B.: Analogamente, il numero di esperimenti (identici e indipendenti) fino al primo successo ha legge geometrica ($p$) (probabilità di successo in un singolo esperimento).