disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Per ogni coppia di variabili aleatorie $X$ e $Y$ si ha che

$$\mathbb{E}\left(|X\cdot Y|\right)\le \sqrt{\mathbb{E}(X^2)\cdot \mathbb{E}(Y^2)}$$

Equivalentemente

$$\int |f(x)\cdot g(x)|dx\le \sqrt{\int f^2(x)dx\cdot \int g^2(x)dx}$$

N.B.: Se $Y=X$ otteniamo $\mathbb{E}\left(X^2\right)\le \sqrt{\mathbb{E}(X^2)\cdot \mathbb{E}(Y^2)}=\mathbb{E}(X^2)$

Applicazione importante: coefficiente di correlazione

Ricordando la definizione di covarianza di due variabili aleatorie, chiamiamo le varianze di $X$ e $Y$ rispettivamente $\mathcal{X}$ e $\mathcal{Y}$:

$$\text{Cov}(X,Y)=E(\text{Var}(X)\cdot \text{Var}(Y))=\mathbb{E}(\mathcal{X}\cdot \mathcal{Y})$$

Per Cauchy-Schwarz vale che $|\text{Cov}(X,Y)|=|\mathbb{E}(\mathcal{X}\cdot \mathcal{Y})|\le \mathbb{E}(|\mathcal{X}\cdot \mathcal{Y}|)\le \sqrt{\mathbb{E}({\mathcal{X}}^2)\cdot \mathbb{E}({\mathcal{Y}}^2)}$

Quindi

$$|\text{Cov}(X,Y)|\le \sqrt{\text{Var}(X)\cdot \text{Var}(Y)}$$

Il coefficiente di correlazione di $X$ e $Y$ è dato da

$$\text{Corr}(X,Y):=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\cdot \text{Var}(Y)}}\in [-1,1]$$

Casi particolari: todo

• $Y=X$
• $Y=-X$
• $X$ e $Y$ indipendenza di due eventi