gruppo

Un gruppo è una quadrupla $(G,\ast ,e,{}^{-1})$ dove:

1. $G$ è un insieme non vuoto.
2. $\ast$ è un’operazione binaria non necessariamente commutativa $G\times G\to G$ (“prodotto” o “legge di composizione”).
3. $e\in G$ è l’elemento neutro.
4. $g^{-1}$ è una funzione $G\to G$ che associa a ogni elemento $a\in G$ il suo inverso $a^{-1}\in G$.

N.B.: Se l’operazione $\ast$ è commutativa, il gruppo si dice gruppo abeliano o commutativo.

Su cui valgono i seguenti assiomi:

1. Associatività: $\forall a,b,c\in G$, $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
2. Elemento neutro: $\forall a\in G$, $a\ast e=e\ast a=a$.

Come gli insiemi hanno i sottoinsiemi, anche i gruppi hanno i sottogruppi.

La nozione di applicazione può essere modificata per funzionare con i campi, definendo l’omomorfismo.

Esempi di gruppo:

• $(\mathbb{Z},+,0,-)$ è un gruppo abeliano (l’operazione è l’addizione, l’inverso di $a$ è $-a$).
• $({\mathbb{R}}^{\ast },\ast ,1,{}^{-1})$ è un gruppo abeliano (l’operazione è la moltiplicazione, l’inverso di $a$ è $1/a$).

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• isomorfismo
• omomorfismo
• sottogruppi
• sottogruppo normale
• classi laterali
• gruppo quoziente
• permutazioni
• gruppo di permutazioni
• ordine

Notazioni

Gruppi in notazione additiva

I gruppi $(G,+,0_g)$ in notazione additiva, sono sempre abeliani.

In notazione additiva, l’inverso si chiama opposto, e l’inverso di $g\in G$ si scrive $-g$.

Esempi:

• Sia $(A,+,\cdot ,0_A,1_A)$ un anello: Allora $(A,+,0_A)$ è un gruppo abeliano in notazione additiva.
• $(\mathbb{Z},+,0),(\mathbb{Q},+,0),(\mathbb{R},+,0),(\mathbb{C},+,0),({\mathbb{F}}_5,+,\overline{0})$ sono gruppi abeliani in notazione additiva.

Gruppi in notazione moltiplicativa

I gruppi $(G,\cdot ,1_g)$ in notazione moltiplicativa possono non essere abeliani.

In notazione moltiplicativa l’inverso di $g\in G$ si scrive $g^{-1}$.

Esercizio

Se $(A,+,\cdot ,-,0_A,1_A)$ è un anello commutativo, dimostra che la tripla $(A^{\times },\cdot ,1_A)$ è un gruppo in notazione moltiplicativa, in particolare è abeliano.

1. $A^{\times }$ non è vuoto perché $1_A$ è invertibile per il prodotto.
2. $a\cdot a^{-1}=1_A\in A^{\times }\wedge b\cdot b^{-1}=1_A\in A^{\times }$ $a\cdot a^{-1}\cdot b\cdot b^{-1}=1_A⟹ab\cdot {ab}^{-1}={ab}^{-1}\cdot ab=1_A$, quindi ${ab}^{-1}$ è l’inverso di $ab$ e viceversa. Dato che $a\cdot b$ ha un inverso, $\forall a,b\in A^{\times }(a\cdot b\in A^{\times })$, cioè il prodotto è chiuso in $A^{\times }$.
3. Per definizione, la tripla studiata ha un elemento neutro per il prodotto.
4. È garantito che esista una funzione che associa ogni elemento al suo inverso, infatti per definizione $A^{\times }$ contiene solo elementi invertibili

Dai quattro punti si conclude che $(A^{\times },\cdot ,1_A)$ è un gruppo. Inoltre è anche commutativo dato che l’operazione prodotto, essendo ereditata dall’anello commutativo, è commutativa.

$\square$

Creare gruppi a partire da gruppi

Prodotto cartesiano di gruppi

Abbiamo 2 gruppi

$$(G_1,{\ast }_1,e_1)(G_2,{\ast }_2,e_2)$$

Definiamo $G_1\times G_2$ nel modo seguente: $(a_1,a_2)\ast (b_1,b_2)=(a_1{\ast }_1{b}_1,a_2{\ast }_2{b}_2)$

Si osserva che la struttura risultante dal prodotto cartesiano $(G_1\times G_2,\stackrel{\text{nuova}}{\ast },(e_1,e_2))$ è un gruppo.

Dimostrazione:

• associatività: $(a_1,a_2)\ast ((b_1,b_2)\ast (c_1,c_2))=(a_1,a_2)\ast (b_1{\ast }_1{c}_1,b_2{\ast }_2{c}_2)=(a_1{\ast }_1(b_1{\ast }_1{c}_1),a_2{\ast }_2(b_2{\ast }_2{c}_2))=((a_1{\ast }_1{b}_1){\ast }_1{c}_1,(a_2{\ast }_2{b}_2){\ast }_2{c}_2)=((a_1,a_2)\ast (b_1,b_2))\ast (c_1,c_2)$

Successivamente si dimostrano anche gli altri tre assiomi.

Esempio

N.B.: Questo è un gruppo additivo con elemento neutro $\overline{0}$.

$$\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{0},\overline{1}),(\overline{1},\overline{1})\}$$