funzione generatrice dei momenti

Vedere prima valore atteso di una variabile aleatoria.

Definizione

Nel discreto

La funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria $X$ a valori in $S_X\subseteq \mathbb{N}$ è definita come la funzione:

$$G_X(t):=\mathbb{E}(t^X)\text{per}t\in (0,1]=\sum _{x\in S_X}{t}^x\mathbb{P}(X=x)$$

Il nome funzione generatrice dei momenti deriva dal fatto che da $G_X(t)$ possiamo ricavare, derivando, $\mathbb{E}(X^k),\forall k\ge 1$, cioè gli momenti $k$-esimi di $X$*.

Osservazioni:

• per $t=1,G_X(1)=\mathbb{E}(1^X)=1$
• per $t<1$, la somma che definisce $G_X(t)$ è convergente.

Nel continuo

Nel continuo, abbiamo

$$M_X(\theta ):=\mathbb{E}(e^{\vartheta X})={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{\vartheta x}f(x)dx$$

Inoltre $M_X(0)=1,M_X^{\prime }(0)=\mathbb{E}(X),M_X^{\prime \prime }(0)=\mathbb{E}(X^2)$

N.B.: $M_X(0)=\mathbb{E}(e^{0X})=\mathbb{E}(1)=1$

Teorema di univocità

La funzione generatrice dei momenti specifica univocamente la legge di una variabile aleatoria.

Corollario con la legge Gaussiana generica e la legge Gaussiana standard

Se $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ allora $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ (cioè $Y$ è una Gaussiana standard)

Dimostrazione: Calcoliamo $M_Y(\vartheta )$, la funzione generatrice dei momenti di $Y$, e mostriamo che $M_Y(\vartheta )=e^{\frac{{\vartheta }^2}{2}}$. Poiché questa è la funzione generatrice dei momenti di una Gaussiana standard, $Y$ è una Gaussiana standard.

Applicazione utili di $G_X(1)$, completamente analoghe sia nel discreto che nel continuo

1. Calcolo del valore atteso

La funzione generatrice dei momenti ci permette di calcolare il valore atteso di una variabile aleatoria velocemente, basta calcolare la sua derivata in $t=1$.

$$G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)$$ $$G_X^{\prime }(t)=\mathbb{E}(X{t}^{X-1})$$ $$G_X^{\prime }(1)=\mathbb{E}(X\cdot 1^{X-1})=\mathbb{E}(X)$$

Esempio con la distribuzione di Poisson 🐟:

Se $X\sim \text{Poisson}(X)$, la sua funzione generatrice dei momenti è data da

$$G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum _{k=0}^{+\infty }{t}^k\cdot \mathbb{P}(X=k)=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{t^k\cdot e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}=e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda t}=e^{\lambda t-\lambda }$$

2. Calcolo dei momenti $k$-esimi di $X$

Nel discreto abbiamo

$$G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)\to G_X^{\prime }(1)=\mathbb{E}(X)$$ $$G_X^{\prime }(t)=\mathbb{E}(X\cdot t^{X-1})\to G_X^{\prime }(1)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)$$ $$G_X^{\prime \prime }(t)=\mathbb{E}(X\cdot (X-1)\cdot t^{X-2})\to G_X^{\prime \prime }(1)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)$$ $$G_{X(t)}^{\prime \prime \prime }=\mathbb{E}(X\cdot (X-1)\cdot (X-2)\cdot t^{x-3})\to G_X^{\prime \prime \prime }(1)=\mathbb{E}(X^3)-3\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(X)$$

Analogamente, nel continuo, abbiamo

$$\frac{d^k}{d{\vartheta }^k}{M}_X(\vartheta ){\mid }_{\vartheta =0}=\mathbb{E}(X^k)$$

3. Teorema dell’univocità delle leggi delle variabili aleatorie corrispondenti

La legge generatrice dei momenti determina univocamente la legge della variabile aleatoria corrispondente.

Esempio: Se $G_X(t)=tp+1-p$, allora $X\sim \text{Bernoulli}(p)$. (distribuzione di Bernoulli)

4. Somme di variabili indipendenti

Nel discreto

Siano X e Y due variabili aleatorie con legge di Poisson, di parametri ${\lambda }_X$ e ${\lambda }_Y$, indipendenti tra loro.

Voglio capire che legge ha la variabile $Z=X+Y$.

$$G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum _{k=0}^{\infty }{t}^k\frac{e^{-{\lambda }_X}{\lambda }_X^k}{k!}=e^{t{\lambda }_X-\lambda X}$$ $$G_Y(t)=e^{t{\lambda }_Y-{\lambda }_Y}$$ $$G_Z(t)=\mathbb{E}(t^Z)=\mathbb{E}(t^{X+Y})=G_X(t)\cdot G_Y(t)$$

In generale, se $X$ e $Y$ sono due variabili indipendenti

$$G_{X+Y}(t)=\mathbb{E}(t^{X+Y})=G_X(t)\cdot G_Y(t)$$

Ciò vale anche con un numero maggiore di variabili indipendenti.

Nel continuo

Se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, la funzione generatrice dei momenti di $X+Y$ è il prodotto delle funzioni generatrici di $X$ e $Y$.

$$M_{X+Y}(\vartheta )=\mathbb{E}(e^{\vartheta (X+Y)})=\mathbb{E}(e^{\vartheta X})\cdot \mathbb{E}(e^{\vartheta Y})$$

Esercizio todo

Trova la funzione generatrice dei momenti $N(\mu ,{\sigma }^2)$

Suggerimento: per il calcolo dell’integrale applicare il cambio di variabile $y=\frac{x-\mu }{\lambda }$. Applicare il calcolo di variabile $y=\frac{x-\mu }{\sigma }$ prima di completare il quadrato ($M_X(\vartheta )=e^{\frac{{\vartheta }^2{\sigma }^2}{2}+\mu \vartheta }$).