indipendenza di tre eventi

Sia $\Omega$ uno spazio campionario. Diciamo che tre eventi $A$, $B$ e $C$ su $\Omega$ sono indipendenti se

$$\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C)$$

N.B.: Se vale solo l’indipendenza di due eventi tra $A,B,C$, cioè $A\perp \perp B,A\perp \perp C,B\perp \perp B$, si dice che i tre eventi sono indipendenti a coppie.

N.B.: L’indipendenza a coppie è una proprietà più debole dell’indipendenza.

$A,B,C\text{indipendenti}⟹A,B,C\text{indipendenti a coppie}$;

però $A,B,C\text{indipendenti a coppie}/⟹A,B,C\text{indipendenti}$

Esempio

Lancio due monete eque. Siano:

$$A=\{\text{T al primo lancio}\}$$ $$B=\{\text{T al secondo lancio}\}$$ $$C=\{\text{esattamente una T}\}$$

$\Omega =\{(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)\}$

• $|A|=2$
• $|C|=2$
• $|C|=2$

$\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C)=\frac{1}{4}$ cioè i tre eventi sono indipendenti a coppie.

Però $A\cap B\cap C=\varnothing ⟹\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=0\ne \mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C)$, quindi i tre eventi non sono indipendenti.