serie geometriche

Una serie geometrica di “ragione $q$” (costante) è definita $S_k={\sum }_{n=1}^{+\infty }{q}^n,q\in \mathbb{R}$

Si dimostra che $S_k={\sum }_{n=1}^{+\infty }{q}^n=\frac{1-q^{k+1}}{1-q},q\ne 1$

convergenza e divergenza

Per $k\to +\infty$:

• se $q\ge 1$:
  • $q^{k+1}=+\infty$
  • $S_k=+\infty$ la serie diverge
• Se $-1<q<1$:
  • $q^{k+1}=0$
  • $S_k=\frac{1}{1-q}$ la serie converge
• Se $q<-1$:
  • $q^{k+1}=\nexists$
  • $S_k=\nexists$ la serie è indeterminata

asintotica

${\sum }_{i=1}^n{c}^i=\left\{\begin{array}{c}\Theta (1)\text{ se }c<1\\ \Theta (n)\text{ se }c=1\\ \Theta (c^n)\text{ se }c>1\end{array}\right\}$