spazio vettoriale di matrici

In uno spazio vettoriale di matrici su un campo $K$ gli elementi sono matrici a $m$ righe e $n$ colonne a coefficienti ($a_{ij}$) in $K$, esprimibili come tabelle nella forma:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

con $a_{ij}\in K\forall (i,j)\in \{1,\dots ,m\}\cdot \{1,\dots ,n\}$.

Glossario

• ${\mathcal{M}}_{m,n}(K)$ è lo spazio vettoriale di tutte le matrici con $m$ righe e $n$ colonne.
• La dimensione ($\text{dim}$) di uno spazio vettoriale di matrici ${\mathcal{M}}_{m,n}(K)$ è $m\cdot n$.
• $G{L}_n(K)$ è lo spazio vettoriale di tutte le matrici invertibili, che sono tutte quadrate di dimensioni $n\times n$ (ma non è detto che tutte le quadrate sono invertibili).
• Una matrice si dice invertibile se e solo se $\exists A^{\prime }\in {\mathcal{M}}_n(K):A^{\prime }A=A{A}^{\prime }=I_n$.
• rango.
• determinante.

Notazioni

Una matrice $A$ di $m$ righe (indicizzate da $i$) e $n$ (indicizzate da $j$) colonne può essere espressa tramite più notazioni:

• notazione compatta: $A=(a_{ij})$;
• come vettore di “vettori riga”: $A=\left(\begin{array}{c}{r}_1\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right)$, con $r_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}),a_{ij}\in K$;
• Come vettore di “vettori colonna”: $A=(c^1,\dots ,c^n)$, con $c^{1j}=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right),a_{ij}\in K$;
• Come elemento generico dello spazio vettoriale a cui appartiene: $A\in K^{m\times n}={\mathcal{M}}_{m,n}(K)$.

Osservazione: Lo spazio vettoriale $K^{m\times n}$ è isomorfo a $K^{m\cdot n}$: ad esempio $K^{2\times 2}$, cioè lo spazio di tutte le matrici $\left(\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}\right)$ è isomorfo a $K^4$, cioè lo spazio di tutti i vettori $(abcd)$.

Operazioni

Somma tra matrici (commutativa)

$$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$$ $$B=(b_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$$

$A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$, scrivibile come $(a_{ij}+b_{ij}{)}_{i,j}$

Prodotto scalare per matrice (commutativo)

Se $(x_1\dots x_n)\in K^n$ è un “vettore riga” e se $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\in K^n$ è un vettore colonna, allora il prodotto scalare $x$ e $y$ è definito $⟨x,y⟩:={\sum }_{i=1}^n{x}_I{y}_i\in K$.

Esempio con $V={\mathbb{R}}^3,K=\mathbb{R}$

$$x=(2,-1,3)y=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)⟨x,y⟩=(2)(4)+(-1)(9)+(3)(5)=8+0+15=23$$

Prodotto tra matrici (non commutativo)

Dati tre spazi vettoriali $\mathcal{M}$ di matrici su un campo $K$, il prodotto fra matrici mappa le matrici $A$ e $B$ al risultato $C,C=(c_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$, dove ogni elemento $c_{ij}$ della matrice $C$ è il prodotto scalare tra la $i$-esima diga di $A$ e la $j$-esima colonna di $B$.

$${\mathcal{M}}_{m,k}(K)\times {\mathcal{M}}_{k,n}(K)\to {\mathcal{M}}_{m,n}(K)$$ $$A\cdot B=C=(c_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}{c}_{ij}=⟨A_i,B^j⟩=\sum _{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$$

Esempio con $K=\mathbb{R}$ per entrambi gli spazi vettoriali $\mathcal{M}$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}$$ $$B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}$$ $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}⟨A_1,B^1⟩& ⟨A_1,B^2⟩\\ ⟨A_2,B^1⟩& ⟨A_2,B^2⟩\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,2}$$

Proprietà

• È associativo e distributivo, ma non commutativo.
• Esistono diversi elementi neutri del prodotto scalare, tutte matrici quadrate: la matrice identità $\in {\mathcal{M}}_n$ così definita:

$$I_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

• Per le matrici identità vale che se $A\in {\mathcal{M}}_{n,m}$ allora $I_{n}A=A{I}_m=A$, cioè sono elementi neutri commutativi di un’operazione non commutativa.
• Il prodotto scalare è un caso particolare di quello tra matrici.

Osservazioni utili

Con i metodi utilizzati, si può dimostrare, dato un insieme finito $I\subset W,\text{dim}(W)=n$

1. Se $I$ è libero, allora $|I|\le n$.
2. Se $I$ è generatore, allora $|I|\ge n$. (Quindi se $I$ è base, allora $|I|=n$.)
3. Se ${\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(I)\subset W$ allora $\text{dim}({\text{Vett}}_{\mathbb{R}})\le \text{dim}(W)$.
4. Se $W^{\prime }\subset W$ è un inclusione di spazio vettoriale allora $\text{dim}(W^{\prime })\le \text{dim}(W)$.
5. Se $W^{\prime }\subset W$ e $\text{dim}(W^{\prime })=\text{dim}(W)$ allora $W^{\prime }=W$.
6. Se $I$ è generatore e $I\subseteq I^{\prime }$ allora $I$ è generatore di $W$.
7. Se $I$ è libero e $I^{\prime }\subset I$ allora $I^{\prime }$ è libero.
8. (dal teorema di Rouché-Capelli) $A\in {\mathcal{M}}_n(K)$ allora le proprietà seguenti sono equivalenti:
   • $A\in G{L}_n(K)$;
   • $\text{dim}(A)\ne 0$;
   • $\text{dim}(A)=n$;
   • le righe di $A$ sono linearmente indipendenti e la forma a gradini ridotta di $A$ è $I_n$;
   • le righe di $A$ sono una base di $K^n$;
   • le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti (si studia la matrice trasposta).