spazio vettoriale di matrici

In uno spazio vettoriale di matrici su un campo $K$ gli elementi sono matrici a $m$ righe e $n$ colonne a coefficienti ($a_{ij}$) in $K$, esprimibili come tabelle nella forma:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

con $a_{ij}\in K\forall (i,j)\in \{1,\dots ,m\}\cdot \{1,\dots ,n\}$.

Glossario

• ${\mathcal{M}}_{m,n}(K)$ è lo spazio vettoriale di tutte le matrici con $m$ righe e $n$ colonne (prima l’altezza poi la larghezza)
• La dimensione ($\text{dim}$) di uno spazio vettoriale di matrici ${\mathcal{M}}_{m,n}(K)$ è $m\cdot n$.
• $G{L}_n(K)$ è lo spazio vettoriale di tutte le matrici invertibili, che sono tutte quadrate di dimensioni $n\times n$ (ma non è detto che tutte le matrici quadrate sono invertibili).
• Una matrice si dice invertibile se e solo se $\exists A^{\prime }\in {\mathcal{M}}_n(K):A^{\prime }A=A{A}^{\prime }=I_n$. Invertire una matrice quindi vuol dire trovare un’inversa.
• rango.
• determinante.

Notazioni

Una matrice $A$ di $m$ righe (indicizzate da $i$) e $n$ (indicizzate da $j$) colonne può essere espressa tramite più notazioni:

• notazione compatta: $A=(a_{ij})$;
• come vettore di “vettori riga”: $A=\left(\begin{array}{c}{r}_1\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right)$, con $r_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}),a_{ij}\in K$;
• Come vettore di “vettori colonna”: $A=(c^1,\dots ,c^n)$, con $c^{1j}=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right),a_{ij}\in K$;
• Come elemento generico dello spazio vettoriale a cui appartiene: $A\in K^{m\times n}={\mathcal{M}}_{m,n}(K)$.

Osservazione: Lo spazio vettoriale $K^{m\times n}$ è isomorfo a $K^{m\cdot n}$: ad esempio $K^{2\times 2}$, cioè lo spazio di tutte le matrici $\left(\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}\right)$ è isomorfo a $K^4$, cioè lo spazio di tutti i vettori $(abcd)$.

Operazioni

Somma tra matrici (commutativa)

Siano $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n},B=(b_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in {\mathcal{M}}_{m,n}$ due matrici. La loro somma $A+B$ è definita come:

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$$

Scrivibile come $(a_{ij}+b_{ij}{)}_{i,j}$

Esempio:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 0\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 5\\ 1& 2& -3\end{array}\right)A+B=\left(\begin{array}{ccc}1+0& 2-3& 3+5\\ 0+1& -1+2& 0-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 8\\ 1& -1& -3\end{array}\right)$$

Prodotto scalare per matrice (commutativo)

Sia $s$ uno scalare e $A_{i,j}$ una matrice. Il loro prodotto $s\cdot A_{i,j}=(s\cdot A{)}_{i,j}$ è definito come:

$$s\cdot A_{i,j}=(s\cdot A{)}_{i,j}$$

Esempio:

$$3\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 3& 2\cdot 3& 3\cdot 3\\ 0\cdot 3& -1\cdot 3& 0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 0& -3& 0\end{array}\right)$$

Prodotto tra matrici (non commutativo)

Siano $A\in {\mathcal{M}}_{m,k}$ e $B\in {\mathcal{M}}_{k,n}$ due matrici. Il loro prodotto ${\mathcal{M}}_{m,k}(K)\times {\mathcal{M}}_{k,n}(K)$ è definito come:

$$[AB{]}_{m,n}=\sum _{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$$ $${\mathcal{M}}_{m,k}(K)\times {\mathcal{M}}_{k,n}(K)\to {\mathcal{M}}_{m,n}(K)$$

Dove ogni elemento $c_{ij}$ della matrice $C$ è il prodotto vettoriale tra la $i$-esima riga di $A$ e la $j$-esima colonna di $B$; i quali agiscono rispettivamente come vettore riga e vettore colonna.

N.B.: Il risultato finale avrà tante colonne quante ne ha $A$ e tante righe quante ne ha $B$.

Esempio con $K=\mathbb{R}$ per entrambi gli spazi vettoriali $\mathcal{M}$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}$$ $$B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}$$ $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}⟨A_1,B^1⟩& ⟨A_1,B^2⟩\\ ⟨A_2,B^1⟩& ⟨A_2,B^2⟩\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,2}$$

Osservazione: Moltiplicando una matrice di dimensioni $n\times 1$ e un’altra di dimensioni $1\times m$, si realizza che il prodotto vettoriale è un caso particolare di quello tra matrici.

Proprietà

• È associativo e distributivo, ma non commutativo.
• Esistono diversi elementi neutri del prodotto tra matrici, tutte matrici quadrate: la matrice identità $\in {\mathcal{M}}_n$ così definita:

$$I_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

• Per le matrici identità vale che se $A\in {\mathcal{M}}_{n,m}$ allora $I_{n}A=A{I}_m=A$, cioè le matrici identitarie $I_n$ e $I_m$ sono elementi neutri commutativi di un’operazione non commutativa.

Osservazioni utili

Con i metodi utilizzati, si può dimostrare, dato un insieme finito $I\subset W,\text{dim}(W)=n$

1. Se $I$ è libero, allora $|I|\le n$.
2. Se $I$ è generatore, allora $|I|\ge n$. (Quindi se $I$ è base, allora $|I|=n$.)
3. Se ${\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(I)\subset W$ allora $\text{dim}({\text{Vett}}_{\mathbb{R}})\le \text{dim}(W)$.
4. Se $W^{\prime }\subset W$ è un inclusione di spazio vettoriale allora $\text{dim}(W^{\prime })\le \text{dim}(W)$.
5. Se $W^{\prime }\subset W$ e $\text{dim}(W^{\prime })=\text{dim}(W)$ allora $W^{\prime }=W$.
6. Se $I$ è generatore e $I\subseteq I^{\prime }$ allora $I$ è generatore di $W$.
7. Se $I$ è libero e $I^{\prime }\subset I$ allora $I^{\prime }$ è libero.
8. (dal teorema di Rouché-Capelli) $A\in {\mathcal{M}}_n(K)$ allora le proprietà seguenti sono equivalenti:
   • $A\in G{L}_n(K)$;
   • $\text{dim}(A)\ne 0$;
   • $\text{dim}(A)=n$;
   • le righe di $A$ sono linearmente indipendenti e la forma a gradini ridotta di $A$ è $I_n$;
   • le righe di $A$ sono una base di $K^n$;
   • le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti (si studia la matrice trasposta).