intervalli in R

definizione di intervallo limitato

L’insieme $I$ che contiene tutti i numeri in $\mathbb{R}$ tra gli estremi (inclusi o meno) $a$ e $b$ è un intervallo di $\mathbb{R}$, è limitato se entrambi gli estremi $a$ e $b$ sono finiti. $a,b\in \mathbb{R}a<b$

• $\{a\le x\le b\}=[a,b]$
• $\{a<x<b\}=(a,b)$
• $\{a\le x<b\}=[a,b)$
• $\{a<x\le b\}=(a,b]$

X = intervallo limitato qualsiasi

• $M(X)=\{x\in \mathbb{R}|x\ge b\}$ $b=min(M(x))=sup([a,b])$ = massimo dell’intervallo solo se esso è chiuso in $b$.
• $m(X)=\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}$ $a=max(m(x))=inf([a,b])$ = minimo dell’intervallo solo se esso è chiuso in $a$.

Un’intervallo è considerato degenere se contiene un solo elemento.

Es: $[1,1]=\{1\}$

definizione di intervallo illimitato

$I$ è un intervallo illimitato in $R$ se almeno un’estremo è infinito.

• Il superiore di un’intervallo illimitato a destra è $+\infty$ e $-\infty$ se è illimitato a sinistra.
• Il massimo di un’intervallo illimitato a destra e ili minimo di un’intervallo illimitato a sinistra non esistono.

consistenza fra le notazioni

$(a,b)=(inf(I),sup(I))=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}=(a,b)$

• distanza fra x e y sulla linea numerica