spazio vettoriale

sia $K$ un campo (contiene gli scalari) e $V=(V,+,0_V)$ un gruppo abeliano (contiene i vettori) in notazione additiva. Si dice che $V$ è un $K$-spazio vettoriale o uno spazio vettoriale su $K$ se, oltre alla somma tra vettori (operazione binaria commutativa in $V$) esiste anche la moltiplicazione tra un vettore e uno scalare $K\times V\to V$, dove $(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v$.

Gli elementi di $K$ si chiamano scalari, mentre quelli di $V$ si chiamano vettori.

N.B.: La moltiplicazione fra vettori non esiste.

N.B.: Non c’è nessuna restrizione sulle cardinalità di $K$ e $V$.

N.B.: per ogni spazio vettoriale esiste un gruppo associato ad esso, ma non viceversa.

• spazio vettoriale di matrici
• spazio vettoriale R quadro
• sottospazio vettoriale

Proprietà

1. Legge di distributività di $\alpha \in K$ su $V$: $\alpha \cdot (v\underset{V}{+}w)=\alpha \cdot v\underset{V}{+}\alpha \cdot w$
2. Legge di distributività di $v\in V$ su $K$: $v\cdot (\alpha \underset{K}{+}\beta )=\alpha \cdot v\underset{V}{+}\beta \cdot v$
3. Compatibilità del prodotto come definito in $K$ e del prodotto definito in $V$: $\alpha \cdot (\beta \cdot v)=(\alpha \cdot \beta )\cdot v$
4. Esistenza dell’unità (scalare neutro): $1_K\cdot v=v$

Operazioni

Prodotto scalare per vettore

Siano $s\in K,\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in V$. Il prodotto scalare per vettore $s\cdot x$ è definito come:

$$s\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\cdot x_1\\ ⋮\\ s\cdot x_n\end{array}\right)$$

Esempio con $V={\mathbb{R}}^2,K=\mathbb{R}$:

Prodotto scalare ($V,V\to K$) (operazione aggiuntiva)

Siano $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\in V$. Il prodotto tra vettori $x$ e $y$ $⟨x,y⟩$ è definito come:

$$⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\in K$$

Esempio con $V={\mathbb{R}}^3,K=\mathbb{R}$:

$$x=(2,-1,3)y=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)⟨x,y⟩=(2)(4)+(-1)(0)+(3)(5)=8+0+15=23$$

Glossario

• Scalare: è un elemento del campo $K$, il quale gode di due operazioni binarie commutative $+$ e $\ast$ tra scalari.
• Vettore: è un elemento del gruppo abeliano $V$, il quale gode di un operazione binaria commutativa $+$ tra vettori.
• Spazio vettoriale banale: $K^1=K$, cioè i campi, o $K^0:=\{0\}$, lo spazio con solo l’elemento neutro.
• Combinazione lineare dei vettori $v,w$ con coefficienti $\alpha ,\beta$: $\alpha v+\beta w$. Esiste una combinazione lineare banale $0\cdot v_1+\dots +0\cdot v_n=0_V$.
• Coordinate: I coefficienti di una combinazione lineare sono chiamati coordinate del vettore rispetto ai vettori generatori liberi. Ad esempio le coordinate di ${\mathbb{R}}^2$, cioè il piano cartesiano, esistono rispetto ai vettori generatori $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$ e $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$.
• Origine: l’elemento/vettore neutro dello spazio vettoriale. Ad esempio in ${\mathbb{R}}^2$ è il “centro” del piano.
• Unità: lo scalare neutro $\in K$.
• Indipendenza vettoriale.
• Span: dato lo spazio vettoriale $V$ e un insieme $I$ di vettori $\in V$, detti vettori generatori, lo span è l’intersezione di tutti i sottospazi vettoriali di $V$ che contengono $I$. Si chiama anche il più piccolo sottospazio di $V$ generato da $I$, copertura lineare di $I$ o $\text{Vett}(I)$. Se un insieme di $n$ vettori $\in K^n$ sono linearmente indipendenti, la loro span è $K^n$. Una definizione più utile è “l’insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari finite dell’insieme dei generatori, a coefficienti in $K$ (chiamato sottospazio vettoriale generato da essi)“.
• Insieme generatore di uno spazio vettoriale $V$: è l’insieme dei vettori la cui span è $V$. I suoi elementi si dicono vettori generatori.
• Insieme libero: è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
• Base di uno spazio vettoriale $V$: è l’insieme sia libero che generatore di $V$.
• Base canonica di uno spazio vettoriale $V$: è l base $E$ di $V$ definita come:

$$E=\left\{\begin{array}{c}{e}_1=(1,0,\dots ,0),\\ e_2=(0,1,\dots ,0)\\ \dots \\ e_n=(0,0,\dots ,1)\end{array}\right\}$$

• Coordinate: L’insieme delle coordinate di un vettore rispetto a una base di uno spazio vettoriale è la sua rappresentazione come vettore, il quale ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare dei vettori della base. Se non si specifica la base, si intende sempre che le coordinate del vettore sono espresse sulla la base canonica. Ad esempio il vettore su ${\mathbb{R}}^2$ che punta a $(2,1)$ (nel sistema di coordinate definito dalla base canonica) si scrive $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ in base canonica $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$, però si scrive $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ se convertito nel sistema di coordinate definito dalla base $\left\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)\right\}$.
• Dimensione: $\text{dim}(V)$ è il numero di vettori generatori liberi di $V$ (cioè la cardinalità della sua base): intuitivamente corrisponde al numero di “gradi di libertà” di $V$. Ad esempio $\text{dim}({\mathbb{R}}^2)=2$, perché il piano cartesiano è bidimensionale. ^9b5e71 È il concetto alla base della formula di Grassmann.
• Codimensione: $\text{cod}(S)=\dim (E)-\dim (S)$ è la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale $E$ (di cui $S$ è sottospazio) e quella di $S$. Intuitivamente è il numero di “gradi di libertà in meno” di $S$ rispetto ad $E$ che lo contiene.
• Iperpiano: è uno sottospazio vettoriale con $\text{cod}=1$.