spazio vettoriale

sia $K$ un campo (contiene gli scalari) e $V=(V,+,0_V)$ un gruppo abeliano (contiene i vettori) in notazione additiva. Si dice che $V$ è un $K$-spazio vettoriale o uno spazio vettoriale su $K$ se, oltre all’operazione binaria commutativa in $V$, esiste anche un’operazione binaria (moltiplicazione per uno scalare) $K\times V\to V$, dove $(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v$ tale che $\forall \alpha ,\beta \in K,v,w\in V$, indicata con $⟨v,w⟩$.

Gli elementi di $K$ si chiamano scalari, mentre quelli di $V$ si chiamano vettori.

N.B.: La moltiplicazione fra vettori non esiste.

N.B.: Non c’è nessuna restrizione sulle cardinalità di $K$ e $V$.

N.B.: per ogni spazio vettoriale esiste un gruppo associato ad esso, ma non viceversa.

• spazio vettoriale di matrici
• spazio vettoriale R quadro
• sottospazio vettoriale

Proprietà

1. Legge di distributività di $\alpha \in K$ su $V$: $\alpha \cdot (v\underset{V}{+}w)=\alpha \cdot v\underset{V}{+}\alpha \cdot w$
2. Legge di distributività di $v\in V$ su $K$: $v\cdot (\alpha \underset{K}{+}\beta )=\alpha \cdot v\underset{V}{+}\beta \cdot v$
3. Compatibilità del prodotto come definito in $K$ e del prodotto definito in $V$: $\alpha \cdot (\beta \cdot v)=(\alpha \cdot \beta )\cdot v$
4. Esistenza dell’unità (scalare neutro): $1_K\cdot v=v$

Glossario

• Scalare: è un elemento del campo $K$, il quale gode di due operazioni binarie commutative $+$ e $\ast$ tra scalari.
• Vettore: è un elemento del gruppo abeliano $V$, il quale gode di un operazione binaria commutativa $+$ tra vettori.
• Spazio vettoriale banale: $K^1=K$, cioè i campi, o $K^0:=\{0\}$, lo spazio con solo l’elemento neutro.
• Combinazione lineare dei vettori $v,w$ con coefficienti $\alpha ,\beta$: $\alpha v+\beta w$. Esiste una combinazione lineare banale $0\cdot v_1+\dots +0\cdot v_n=0_V$.
• Coordinate: I coefficienti di una combinazione lineare sono chiamati coordinate del vettore rispetto ai vettori generatori liberi. Ad esempio le coordinate di ${\mathbb{R}}^2$, cioè il piano cartesiano, esistono rispetto ai vettori generatori $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$ e $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$.
• Origine: l’elemento/vettore neutro dello spazio vettoriale. Ad esempio in ${\mathbb{R}}^2$ è il “centro” del piano.
• Unità: lo scalare neutro $\in K$.
• Indipendenza vettoriale.
• Span: dato lo spazio vettoriale $V$ e un insieme $I$ di vettori $\in V$, detti vettori generatori, lo span è l’intersezione di tutti i sottospazi vettoriali di $V$ che contengono $I$. Si chiama anche il più piccolo sottospazio di $V$ generato da $I$, copertura lineare di $I$ o $\text{Vett}(I)$. Una definizione più utile è “l’insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari finite dell’insieme dei generatori, a coefficienti in $K$ (chiamato sottospazio vettoriale generato da essi)“.
• Insieme generatore di uno spazio vettoriale $V$: è l’insieme dei vettori la cui span è $V$. I suoi elementi si dicono vettori generatori.
• Insieme libero: è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
• Base di uno spazio vettoriale $V$: è l’insieme sia libero che generatore di $V$.
• Base canonica di uno spazio vettoriale $V$: è l base $E$ di $V$ definita come:

$$E=\left\{\begin{array}{c}{e}_1=(1,0,\dots ,0),\\ e_2=(0,1,\dots ,0)\\ \dots \\ e_n=(0,0,\dots ,1)\end{array}\right\}$$

• Coordinate: L’insieme delle coordinate di un vettore rispetto a una base di uno spazio vettoriale è la sua rappresentazione come vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare dei vettori della base. Se non si specifica la base, si intende sempre la base canonica. Ad esempio il vettore su ${\mathbb{R}}^2$ che punta a $(2,1)$ si scrive $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)$ in base canonica $\{(1,0),(0,1)\}$.
• Dimensione: $\text{dim}(V)$ è il numero di vettori generatori liberi di $V$ (cioè la cardinalità della sua base): intuitivamente corrisponde al numero di “gradi di libertà” di $V$. Ad esempio $\text{dim}({\mathbb{R}}^2)=2$, perché il piano cartesiano è bidimensionale.
• Codimensione: $\text{cod}(S)=\dim (E)-\dim (S)$ è la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale $E$ (di cui $S$ è sottospazio) e quella di $S$. Intuitivamente è il numero di “gradi di libertà in meno” di $S$ rispetto ad $E$ che lo contiene.
• Iperpiano: è uno sottospazio vettoriale con $\text{cod}=1$.