gruppo quoziente

Un gruppo quoziente è un gruppo i cui elementi solo le classi di equivalenza di un altro gruppo, secondo una relazione di equivalenza scelta.

N.B.: Un gruppo quoziente si può costruire se e solo se le classi laterali del gruppo originario rispetto a un sottogruppo secondo la relazione di equivalenza scelta, coincidono, cioè se il sottogruppo è normale.

Esempio: Il gruppo $\{\overline{0},\overline{1}\}$ ottenuto dalla selezione delle classi di equivalenza di $\mathbb{Z}$ secondo la relazione di congruenza modulo 2, cioè $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

N.B.: Per una relazione di congruenza generica (come modulo $n$) su un gruppo abeliano, la classe di equivalenza dell’elemento neutro è sempre un sottogruppo normale del gruppo originale.

Definizione formale e notazione

Dato che le classi laterali coincidono ($H◃G$), possiamo definire formalmente il gruppo quoziente come

$$G/H=\{gH\mid g\in G\}$$

Su $G/H$ possiamo definire un’operazione:

$$(gH)(g^{\prime }H)=(g{g}^{\prime })H$$

Che è ben definita se e solo se $H◃G$.

Esempio con $G=\mathbb{Z},H=n\mathbb{Z}$

Scriviamo solo la definizione di equivalenza a sinistra, dato che $\mathbb{Z}$ è abeliano quindi le classi laterali coincidono. Per lo stesso motivo sappiamo a priori che l’insieme quoziente è ben definito.

$$x\approx y⟺x-y\in n\mathbb{Z}$$

Le classi sono

$$[x]=x+n\mathbb{Z}=\{x+kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

L’insieme quoziente è

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$

L’operazione definita nel gruppo quoziente è

$$[x]+[y]=[x+y]$$

todo

Esercizi

Esercizio: $x\sim x^{\prime }⟺Hx=H{x}^{\prime }$. (H=nZ)

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$[x]=Hx$ (la $x$ si scrive dietro perché non è detto che la moltiplicazione è commutativa, nemmeno se è abeliano)

Esempio: $G=\mathbb{Z}$

$H=n\mathbb{Z},n\in {\mathbb{N}}^{\star }$

$[x]=n\mathbb{Z}+x=x+n\mathbb{Z}$

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Esercizio 2: trovare su $G$ una relazione d’equivalenza $\sim$ le cui classi d’equivalenza siano $xH$.

Suggerimento $x\approx x^{\prime }⟺x^{-1}{x}^{\prime }\in H$.