equazioni differenziali

• elenco di equazioni differenziali da risolvere

Sono le equazioni che legano una funzione incognita alle sue derivate. Se la funzione ha una sola variabile indipendente ($x$) e ha soltanto derivate ordinarie (primo, secondo grado etc.) è detta ordinaria (EDO), se invece la funzione ha più variabili e l’equazione contiene derivate parziali della funzione, è detta equazione differenziale delle derivate parziali.

Se $f\in C^1(I),I\subseteq \mathbb{R}$ ($I$ è un intervallo e $C^1$ è una classe di funzioni) Con $C^1=\{f:I\to \mathbb{R}\text{ derivabili, con }{f}^{\prime }:I\to \mathbb{R}\text{ continua}\}$

allora l’equazione differenziale in cui $f$ è contenuta è ordinaria, e si chiama ordine dell’equazione il più alto ordine tra gli ordini delle derivate presenti nell’equazione.

(^ info da Wikipedia)

Un’equazione differenziale si dice omogenea se non ha il termine noto (omogeneità come proprietà della linearità) e se non contiene termini che dipendono dalla funzione incognita o dalle sue derivate (omogeneità come proprietà di linearità).

In questo corso si parla solo di equazioni differenziali ordinarie, in particolare:

• EDO lineari del primo ordine
• EDO non lineari del primo ordine a variabili separabili
• EDO del secondo ordine

Soluzioni delle EDO

La soluzione di una EDO è una famiglia di funzioni, in cui appare:

• la forma esplicita di una funzione che soddisfa l’equazione
• e una o più costanti arbitrarie pari all’ordine dell’equazione (infatti a un integrale corrisponde una costante arbitraria e a 2 integrali successivi ne corrispondono 2).

EDO lineari

Per essere lineare, un’equazione differenziale deve coinvolgere una funzione incognita e le sue derivate in modo lineare, cioè:

• la funzione e le sue derivate sono alla prima potenza ($f^1$ e ${f^{\prime }}^1$),
• non ci sono prodotti tra $f$ e $f^{\prime }$,
• i coefficienti possono essere funzioni della variabile indipendente

Esempio di EDO lineare non omogenea di primo ordine:

$$f^{\prime }(x)=3f(x)+\sin (x)$$

Esempio di non omogenea di secondo ordine:

$$e^x\cdot f^{\prime \prime }(x)+2\cdot f(x)+\tan (x)=0$$