EDO del secondo ordine

Queste EDO lineari contengono la derivata di secondo ordine e possono contenere anche quella di primo ordine; per classificarle si fa riferimento ai coefficienti della funzione e della derivata, che possono essere costanti o variabili, e alla loro omogeneità o non omogeneità.

In questo corso abbiamo affrontato solo quelle a coefficienti costanti.

Omogenee a coefficienti costanti

Sono equazioni nella forma

$$y^{\prime \prime }(t)+a{y}^{\prime }(t)+by(t)=0$$

e si risolvono in modo diverso in base alla molteplicità (numero di soluzioni) del polinomio caratteristico, cioè il polinomio $P={\lambda }^2+a\lambda +b$ a loro associato.

Esistono 3 possibili casi e ad ognuno di questi corrisponde una famiglia di soluzioni diverse dell’equazione differenziale:

$P$ ha 2 soluzioni reali e distinte

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R},{\lambda }_1\ne {\lambda }_2\to \boxed{y(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_1{e}^{{\lambda }_{2}t}}$$

$P$ ha 2 soluzioni reali e coincidenti

$${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R},{\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda \to \boxed{y(t)=c_1{e}^{\lambda t}+t\cdot c_1{e}^{\lambda t}}$$

$P$ non ha soluzioni reali, ma solo complesse (e coniugate)

Se il determinante è negativo

$$\lambda =\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2},a^2-4b<0$$

allora vuol dire che la soluzione ha una parte reale $\alpha =-\frac{a}{2}$ e una parte complessa $\beta =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}$ moltiplicata per l’unita immaginaria $i$:

$$\lambda =-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}=\alpha \pm \beta i$$

In questo caso la soluzione dell’equazione differenziale è

$$\boxed{y(t)=c_1{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)+c_2{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)}$$

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Non omogenee a coefficienti costanti

Sono equazioni nella forma

$$y^{\prime \prime }(t)+a{y}^{\prime }(t)+by(t)=f(t)$$

La famiglia di soluzioni è data dalla somma della soluzione generale dell’EDO omogenea $y_g(t)$ corrispondente e di una soluzione particolare $y_p(t)$:

$$\boxed{y(t)=y_g(t)+y_p(t)}$$

Si sa come trovare la soluzione generale, ma quella particolare è molto difficile da trovare.

In alcune situazioni si può risolvere con il metodo di somiglianza che si basa su ipotizzare la soluzione possibile e aggiustarla in base al tipo di soluzioni del polinomio caratteristico. Ne vedremo 3 casi specifici.

Metodo di somiglianza o delle ansatz (ipotesi)

Il procedimento per trovare $y_p(t)$ è:

1. Risolvere l’equazione omogenea corrispondente per trovare $y_g(t)$.
2. Supporre $y_p(t)$ (ansatz) in base al membro destro ($f(t)$) dell’equazione e alla molteplicità delle soluzioni del polinomio caratteristico dell’equazione omogenea. N.B.: se il termine a destra compare già nella soluzione omogenea, bisogna moltiplicare l’ansatz per $t$ (o per $t^2$ se la molteplicità è 2).
3. Derivare $y_p(t)$ due volte, trovando $y^{\prime }$ e $y^{\prime \prime }$ (con coefficienti).
4. Sostituire $y^{\prime }$ e $y^{\prime \prime }$ nell’equazione con le funzioni con coefficienti trovate.
5. Isolare e trovare i coefficienti mettendoli a sistema in modo che si verifichi l’uguaglianza tra il membro destro e sinistro dell’equazione
6. Sostituire il parametro trovato in $y_p(t)$

Sommare $y_p(t)$ con $y_g(t)$ per trovare la soluzione generale.

Ansatz più comuni

ai (fact checked)

Forma di $f(t)$ (membro destro)	Ansatz per $y_p(t)$	Note
$C$ (costante)	$y_p=A$	$A$ costante da determinare
$t^n$ (polinomio)	$y_p=A_n{t}^n+\cdots +A_{1}t+A_0$	Polinomio di grado $n$ con coefficienti da trovare
$e^{at}$	$y_p=A{e}^{at}$	Se $e^{at}$ è soluzione omogenea → $y_p=tA{e}^{at}$ (o moltiplica per $t^k$)
$\sin (\omega t),\cos (\omega t)$	$y_p=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$	Se coincide con soluzione omogenea → moltiplica per $t$
$t^m{e}^{at}$	$y_p=e^{at}(P_m(t))$	$P_m(t)$ polinomio di grado $m$
$e^{at}\sin (\omega t),e^{at}\cos (\omega t)$	$y_p=e^{at}(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))$	Se coincide con soluzione omogenea → moltiplica per $t$
Combinazioni sommate (es. $P_n(t)e^{at}+Q_m(t)$)	Somma degli ansatz dei singoli termini	Lineare, si sommano ansatz per ogni termine