applicazione

Una corrispondenza si dice applicazione se $\forall a\in X,\exists !b\in Y:(a,b)\in \Gamma$. In questo caso si dice che $b=f(a)$ e si scrive anche $X\stackrel{f}{\to }Y$ (applicazione $f$ da $X$ a $Y$).

È un sinonimo di funzione e di mappa.

• relazione di equivalenza associata a un’applicazione
• applicazione quoziente
• diagramma
• composizione
• proiezione canonica
• teorema di decomponibilità

Un’applicazione $X\stackrel{f}{\to }Y$ si dice:

• iniettiva se:

  • $\forall x,x^{\prime }\in X(f(x)=f(x^{\prime })⟹x=x^{\prime })$;
  • alternativamente è iniettiva se e solo se $\forall y\in Y(f^{-1}(\{y\})=\varnothing \vee f^{-1}(\{y\})=\{x,x\in X\})$, cioè se $f^{-1}(\{y\})$ è un singleton o non esiste; (se ogni elemento del codominio ha una sola “freccia entrante” o non ne ha);
  • alternativamente è iniettiva se $\text{Card}(f^{-1}(\{y\}))\le 1$.

• suriettiva se:

  • $\forall y\in Y\exists x\in X:f(x)=y$ (tutti gli elementi del codominio hanno “frecce entranti”);
  • alternativamente $f$ è suriettiva se $\forall y\in Y,f^{-1}(\{y\})\ne \varnothing$;
  • alternativamente $f$ è suriettiva se $f(X)=Y$ (non $X\subset Y$).

• applicazione biiettiva o biiezione se:

  • è sia suriettiva che iniettiva;
  • alternativamente se e solo se $\forall y\in Y$, $f^{-1}(\{y\})$ è un singleton;
  • è l’applicazione che ha ${\Delta }_x$ (la diagonale della tabella con dominio e codominio) come grafo (definizione quasi inutile, solo per curiosità).

Se $f$ è iniettiva, scrivo $X\rightarrowtail Y$, se $f$ è suriettiva, scrivo $X\twoheadrightarrow Y$.