serie di Taylor

Se la funzione $f$ è derivabile $n$ volte $⟹P_n(x;x_0)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$ è il miglior polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine $n$ centrato in $x_0$. è l’UNICO polinomio tale che ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x;x_0)}{(x-x_0{)}^n}=0$

La formula si può riscrivere come $f(a)+f^{{}^{\prime }}(a)(x-a)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$

serie di Taylor per la migliore approssimazione di una funzione esponenziale

$e^x=P_n(e^x;0)+o(x^n)$

N.B.: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

serie di Taylor per la migliore approssimazione di seno e coseno

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^9)$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^8)$

derivate	$f^{(n)}(1))$
$f(x)=\sin (x)$	0
$f^{\prime }(x)=\cos (x)$	1
$f^{\prime \prime }(x)=-\sin (x)$	0
$f^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos (x)$	-1
$f^{(4)}(x)=\sin (x)$	0
$sin(x)=\frac{0}{1!}{x}^0-\frac{1}{1!}{x}^1+\frac{0}{2!}{x}^2-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{0}{4!}{x}^4-\frac{1}{5!}{x}^5+\frac{0}{6!}{x}^6-\frac{1}{7!}{x}^7$
$\sin (x)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$
$\cos (x)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+2})$

piccola parentesi su come i calcolatori calcolano i polinomi (non è Taylor)

$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ (polinomio generico) $x_0(x_0(a_n{x}_0+a_{n-1})+a_{n-2})+a_{n-3}$

Esempio: $P(x)=3x^3+6x^2-5x+2$ $x(x(3x+6)-5)+2$

calcolare i polinomi di Taylor senza derivate

$f(x)=x^2{e}^x$ $g(e)=e^{2x}$ $h(x)=e^{3x^2}$ $x_0=0$

$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+...+\frac{t^n}{n!}+o(t^n)$ $e^{2x}=1+2x+\frac{2x^2}{2}+\frac{2x^3}{6}+...+\frac{2x^n}{n!}+o(2x^n)$

---

todo Esempio: $f(x)=x^3+3x^2-6x+8$ Se $f(x)=Q_n(x)+o(x^n)⟹Q_n$ è il polinomio di Taylor Se $g(x)=1+x+o(x)⟹P_1(g(x);0)=1+x$ $h(x)=1+2x+o(x^3)$

$P_0(h;0)=1$ $P_1(h;0)=1+2x$ $P_2(h;0)=1+2x$ $P_3(h;0)=1+2x$ $P_4(h;0)=1+2x$ (non posso calcolarlo dato che il grado della funzione originale è di $x^3$, infatti l’ordine dell’infinitesimo determina l’ordine del polinomio di Taylor più adatto ad approssimare la funzione, e in questo caso non si può andare più avanti di $3$).

$f(x)=x^3+3x^2-6x+8$ $f(0)=8$ $f^{\prime }1(x)=3x^2+6x-6$ $f^{{}^{\prime }}(0)=-6$ $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$ $f^{{}^{\prime \prime }}(0)=6$ $f^{\prime \prime \prime }(x)=6$ $f^{{}^{\prime \prime \prime }}(0)=6$ $f^4(x)=0=f^{(5)}(x)=f^{(6)}(x)=...$

$P_6(x^{71}-16x^{45}+32^8;0)=0$ $P_{92}(-;0)=x^{71}$

$f(x)=e^x$