valore atteso di una variabile aleatoria

Il valore atteso, o media di una variabile aleatoria $X$ è dato da

$$\mathbb{E}(X):=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x\underset{p_x=\mathbb{P}(X=x)}{=}\sum _{x\in S_X}x\cdot \mathbb{P}(X=x)$$

N.B.: Se la domma che definisce $\mathbb{E}(x)$ è data da un numero infinito di termini (quindi non è un somma, è una serie), ci vuole un po’ di cautela bisogna controllare che la somma sia ben definita.

Esempio:

$$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k=-1+1-1-1+1-1+1+\dots$$

Questa somma, a seconda dell’ordine in cui sommiamo gli addendi, può assumere risultati diversi, quindi non è ben definita.

Questo problema potrebbe sorgere nel calcolare il valore atteso di una variabile aleatoria a valori in $\mathbb{Z}$ (o per sottoinsiemi infiniti di $\mathbb{Z}$).

Vedi anche: casi notevoli di varianza e valore atteso

Esempio: Sia $X$ una variabile aleatoria a valori in $\mathbb{Z}$ con legge data dai pesetti $(p_k{)}_{k\in \mathbb{Z}}$ con

$$\{\begin{array}{l}{p}_k=\frac{3}{\pi }\cdot \frac{1}{k^2},k\ne 0\\ p_0=0\end{array}$$ $$\sum _{k\in \mathbb{Z}}^{\infty }{p}_k=\sum _{k\in \mathbb{Z}}^{\infty }\frac{3}{\pi }\cdot \frac{1}{k^2}=\frac{6}{{\pi }^2}\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{6}{{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=1$$

Nota, questa variabile aleatoria ha una legge simmetrica, ossia $\forall k\ne 0(\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(X=-k)=\frac{3}{\pi }\cdot \frac{1}{k^2})$

Valore atteso di una variabile aletoria continua

Invece, nella probabilità continua, data una variabile aleatoria $X$ con funzione di densità $f$ definiamo il valore atteso:

$$\mathbb{E}(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$$

Proprietà del valore atteso di una variabile aleatoria

$S_x\subseteq [0,\infty )$

1. Se $X\ge 0$ allora $\mathbb{E}(X)\ge 0$.
2. Se $X=c$ allora $\mathbb{E}(c)=c$.
3. Se $\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)$.
4. Se $\lambda \in \mathbb{R}$, allora $\mathbb{E}(\lambda X)=\lambda \cdot \mathbb{E}(X)$.
5. 2 e 3 ci dicono che il valore atteso è lineare, ossia $\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)\forall a,b\in \mathbb{R}$.
6. Valore atteso di un funzione di $X$: Se $X$ è una variabile aleatoria discreta a valori in $S_x$, e $g:S_X\to \mathbb{R}$ è una funzione, allora vale che $\mathbb{E}(g(X))={\sum }_{x\in S_X}g(x)\cdot \mathbb{P}(X=x)$. Se la variabile aleatoria è continua, allora $\mathbb{E}(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)\cdot f(x)dx$.

Perché la proprietà 4 è utile?

Esempio: Lancio 2 dadi. Siano $X$ e $Y$ le variabili aleatorie che registrano i risultati del primo e del secondo lancio rispettivamente.

Ovviamente $X$ e $Y$ sono uniformemente distribuite perché i numeri sui dadi sono esiti equiprobabili.

Voglio calcolare, in media, il valore della somma dei due lanci.

Sia $S=X+Y$ la variabile aleatoria che registra la somma dei due lanci.

$$\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)=2\mathbb{E}(X)=\frac{42}{6}=7$$ $$\mathbb{E}(X)=\sum _{k=1}^{6}k\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}$$

Senza usare la linearità, avremmo dovuto calcolare $\mathbb{P}(S=k)\forall k=2,\dots ,12$ e quindi

$$\mathbb{E}(X)=\sum _{k=2}^{12}k\cdot \mathbb{P}(S=k)$$

Che è un calcolo mostruoso.

Generalizziamo. Lanciando $N$ dadi e siano $X_1,X_2,\dots ,X_N$ Le variabili aleatorie che registrano il risultato dei lanci $1,2,\dots ,N$.

Allora:

$$\mathbb{E}\left(\sum _{k=1}^N{X}_k\right)=\sum _{k=1}^N\mathbb{E}(X_k)=N\cdot \mathbb{E}(X_1)=\frac{21}{6}N$$

Cosa succede se facciamo il prodotto di variabili aleatorie?

Esempio: lancio due dadi, e siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie che registrano il risultato dei due lanci. Voglio calcolare il prodotto atteso dei risultati.

Osserviamo che $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, poiché

$$\forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}(\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\mathbb{P}(X=1)\cdot \mathbb{P}(Y=j))$$

Quindi $\mathbb{E}(X\cdot Y)=\mathbb{E}(X)\cdot \mathbb{E}(Y)={\left(\frac{21}{6}\right)}^2$

Generalizzando con $N$ dadi si ottiene che $\mathbb{E}\left({\prod }_{k=1}^N{X}_k\right)={\left(\frac{21}{6}\right)}^N$.

Esempio della proprietà 5

Lancio un dado, sia $X$ la variabile aleatoria che registra il risultato. Allora $\mathbb{E}(X^2)=\mathbb{E}(g(x))={\sum }_{x\in S_x}{x}^2\cdot \mathbb{P}(X=x)={\sum }_{k=1}^6{k}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\cdot 91=\frac{91}{6}$

Esempi di variabili aleatorie

1. distribuzione di Bernoulli

$$X\sim \text{Bernoulli}(p),\text{allora}{S}_X=\{0,1\}$$

Si legge $X$ ha legge Bernoulli con parametro p.

Quindi con $p_1=p$ e con $p_0=1-p$.

Quindi $\mathbb{E}(X)={\sum }_{x\in S_X}x\cdot p_x=0\cdot p_n+1\cdot p_1=p$.

Osservazione: se tutti i valori assunti sono equiprobabili, ossia $\forall x\in S_x(p_x=p)$, allora $\mathbb{E}(X)=p\cdot {\sum }_{x\in S_X}x$.

2. distribuzione binomiale

$$X\sim \text{Binomiale}(N,p)$$

Dove $N$ è il numero di lanci e $p$ è la probabilità di testa ad ogni lancio.

Qui $S_X=\{0,1,2,\dots ,N\}$ e $p_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)p^k(1-p{)}^{N-k}$.

Il valore atteso da $X$ è dato da

$$\mathbb{E}(X)=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x=\sum _{k=0}^{N}k\cdot p_k=\sum _{k=0}^{N}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)p^k(1-p{)}^{N-k}=\sum _{k=0}^{N}k\cdot \frac{N!}{k!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^{N-k}$$ $$=0+\sum _{k=1}^{N}k\cdot \frac{N!}{k!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^{N-k}=\sum _{k=1}^{N}k\cdot \frac{N!}{k\cdot (k-1)!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^{N-k}=\sum _{k=1}^N\frac{N!}{(k-1)!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^{N-k}=$$ $$=p\sum _{k=1}^N\frac{N!}{(k-1)((N-1)-(k-1))!}{p}^{k-1}(1-p{)}^{(N-1)-(k-1)}$$

Cambio di variabile $k^{\prime }=k-1$

$$=p\sum _{k^{\prime }=0}^{n-1}\frac{N(N-1)!}{k^{\prime }!(N-1-k^{\prime })!}{p}^k(1-p{)}^{N-1-k^{\prime }}=N\cdot p\cdot \sum _{k^{\prime }=0}^{n-1}\frac{(N-1)!}{k^{\prime }!((N-1)-k^{\prime })!}{p}^k(1-p{)}^{(N-1)-k^{\prime }}=N_p$$ $$N\cdot p\cdot \boxed{\sum _{k=0}^{N}k\cdot \frac{N!}{k!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^{N-k}}=N\cdot p$$

Perché la somma di tutti i pesetti della distribuzione binomiale fa $1$.

3. distribuzione geometrica

$$X\sim \text{Geometrica}(p)$$ $$S_X=\{1,2,3,\dots \}\text{con}{p}_k=(1-p{)}^{k-1}p$$ $$\mathbb{E}(X)=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x=\sum _{k=1}^{+\infty }k\cdot p_k=\sum _{k=1}^{+\infty }k\cdot (1-p{)}^{k-1}p=p\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }k\cdot (1-p{)}^{k-1}\underset{\text{sm genius ahh wizardry 🥀}}{=}-p\cdot \frac{d}{dp}\left(\sum _{k=1}^{+\infty }(1-p{)}^k\right)$$ $$=-p\cdot \frac{d}{dp}\left(\frac{1}{1-(1-p)}-1\right)=-p\cdot \frac{d}{dp}\left(\frac{1}{p}-1\right)=-p\cdot \left(\frac{-1}{p^2}\right)=\frac{1}{p}$$

4. distribuzione di Poisson 🐟

$$X\sim \text{Poisson}(\lambda ),\lambda >0,S_x=\{0,1,2,3,\dots \}$$ $$\mathbb{E}(X)=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x=\sum _{k=0}^{+\infty }k\cdot \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{(k-1)+1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\underset{k^{\prime }=k-1}{=}\lambda e^{-\lambda }\sum _{k^{\prime }=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{k^{\prime }}}{k^{\prime }!}$$ $$=\lambda \cdot \boxed{\sum _{k=0}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}=\lambda$$

5. lancio un dado. Sia $X$ il valore ottenuto

$$\mathbb{E}(X)=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x=\sum _{k=1}^{6}k\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\left(\sum _{k=1}^{6}k\right)=\frac{21}{6}=3.5$$