algoritmo di Gauss per trovare la matrice inversa

L’algoritmo di Gauss permette di trovare l’inversa di una matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n,n}$:

1. prima si verifica con il calcolo del determinante se è invertibile.
2. Se sì, si usa il metodo di Gauss per mettere $(A\mid I_n)$ in forma ridotta.
3. Si troverà la matrice $(I_n\mid A^{-1})$, da cui isolare graficamente $A^{-1}$.

N.B.: se il rango della matrice non è massimale, la matrice non è invertibile.

Partiamo da un esempio:

1. Scopri se la matrice $A$ è invertibile. Se sì, trova l’inversa.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ 0& 1& -2\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$$

2. Scopri se la matrice $D$ è invertibile. Se sì, trova l’inversa.

$$D=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ 0& 1& -2\\ 1& -2& 0\end{array}\right)$$

Applicando la regola di Sarrus, otteniamo

• $\det (A)=2-(-2+2)=2\ne 0$, quindi $A$ è invertibile ($A\in G{L}_3(\mathbb{R})$)
• $\det (D)=2-(-2+4)=0$, quindi $D$ non è invertibile.

Applicazione dell’algoritmo ad $A$

Troviamo l’inversa di $A$.

Partiamo dalla matrice $(A\mid I_3)$, poi mettiamola in forma ridotta. Siccome il rango di $A$ è $3$, si troverà $(I_3\mid A^{-}1)$, da cui basterà “staccare” $A^{-1}$.