legge esponenziale

La legge esponenziale di parametro $\lambda$ di probabilità continua è definita tramite la variabile aleatoria indicatrice:

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\cdot 1_{[0,+\infty )}(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

è l‘“analogo” (continuo) della distribuzione geometrica (discreta).

Funzione generatrice dei momenti

$$M_X(\vartheta )=\mathbb{E}(e^{\vartheta X})={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{\vartheta x}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\lambda x}\cdot 1_{[0,+\infty )}(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda e^{(\vartheta -\lambda )x}dx=\lambda {\int }_0^{\infty }{e}^{(\vartheta -\lambda )x}dx$$ $$M_X(\vartheta )=\{\begin{array}{ll}\frac{\lambda }{\lambda -\vartheta }& \text{se}\vartheta <\lambda \\ +\infty & \text{altrimenti}\end{array}$$

Valore atteso

Deriviamo $M_X(\vartheta )$, ottenendo $\mathbb{E}(X)$ e $\mathbb{E}(X^2)$.

Per $\vartheta <\lambda$:

$$M_X^{\prime }(\vartheta )=\frac{d}{d\vartheta }\left(\frac{\lambda }{\lambda -\vartheta }\right)=+\frac{\lambda }{(\lambda -\vartheta {)}^2}\to M_X^{\prime }(0)=\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda }$$ $$M_X^{\prime \prime }(\vartheta )=\frac{+2\lambda }{(\lambda -\vartheta {)}^3}\to M_X^{\prime \prime }(0)=\mathbb{E}(X^2)=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

Varianza

Usiamo i valori calcolati nel passaggio precedente:

$$\text{Var}(x)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-(\frac{1}{\lambda }{)}^2=\frac{1}{{\vartheta }^2}$$