formulario di calcolo integrale

Serie

Condizione necessaria per la convergenza

${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=0$

Serie note

Serie a segno costante

Serie geometriche

${\sum }^{+\infty }{q}^n,q\in \mathbb{R}\to {\lim }_{n\to +\infty }{S}_k=\{\begin{array}{ll}+\infty \text{ se }q\ge 1& \text{ divergenza}\\ \frac{1}{1-q}\text{ se }|q|<1& \text{ convergenza}\\ \nexists \text{ se }q\le -1& \text{ indeterminatezza}\end{array}$

Serie armoniche

${\sum }^{+\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},\alpha >0\to {\lim }_{n\to +\infty }{S}_k=\{\begin{array}{l}+\infty \text{ se }|\alpha |\ge 1\\ L\text{ se }|\alpha |<1\end{array}$

Serie di Mengoli

${\sum }^{+\infty }\frac{1}{k(k-1)}=1$

Serie a segno variabile

Se $\sum |a_k|<+\infty \to \sum a_k<+\infty$

Serie a segni alterni

${\sum }_{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\cdot a_n,a_n\ge 0$

Criterio di Leibniz: ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=0\wedge \{a_n\}\text{ eˋ decrescente}⟹\sum (-1{)}^n\cdot a_n<+\infty$

Serie di potenze

${\sum }_{n=0}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$

• $x_0$ = centro della serie.

Esiste un raggio di convergenza $R\in [0,+\infty ]$ tale che:

$$\{\begin{array}{l}\text{converge assolutamente se }|x-x_0|<R\\ \text{diverge se }|x-x_0|>R\\ \text{comportamento incerto se }|x-x_0|=R(\text{da analizzare separatamente})\end{array}$$

Il raggio di convergenza si determina con:

Criterio del rapporto (invertito)

$$R=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\text{(se il limite esiste)}$$

Criterio della radice (invertito)

$$R=\frac{1}{{\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{|a_n|}}$$

Criteri per la convergenza

Criterio del confronto immediato

Considerando due serie $\sum a_n,\sum b_n$ positive e a termini positivi, vale che:

$0\le a_n\le b_n⟹\{\begin{array}{l}\sum b_n<+\infty ⟹\sum a_n<+\infty \\ \sum b_n=+\infty ⟹\sum a_n=+\infty \end{array}$

Criterio del confronto asintotico

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{a_n}{b_n}=\{\begin{array}{l}0⟹\{\begin{array}{l}\sum b_n<+\infty ⟹\sum a_n<+\infty \\ \sum a_n=+\infty ⟹\sum b_n=+\infty \end{array}\\ 0<L<+\infty ⟹\text{entrambe convergono o entrambe divergono}\\ +\infty ⟹\{\begin{array}{l}\sum a_n<+\infty ⟹\sum b_n<+\infty \\ \sum b_n=+\infty ⟹\sum a_n=+\infty \end{array}\end{array}$

Criterio del rapporto

${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n,a_n>0\{\begin{array}{l}\text{converge se }{\lim }_{n\to +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\\ \text{diverge se }{\lim }_{n\to +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\\ \text{non si sa se }{\lim }_{n\to +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\end{array}$

Criterio della radice

${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n,a_n>0\{\begin{array}{l}\text{converge se }{\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{a_n}<1\\ \text{diverge se }{\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{a_n}>1\\ \text{non si sa se }{\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{a_n}=1\end{array}$

Integrali

Metodi di integrazione

Numeratore = derivata del denominatore

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+c$$

Integrazione per parti

$$\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx$$

Integrazione per sostituzione

Se $x=\varphi (t)$, allora:

$$\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)dt$$

Integrazione di funzioni razionali (fratti semplici)

Per $\int \frac{P(x)}{Q(x)}$:

• Se $\mathrm{deg}P>\mathrm{deg}Q$ si esegue la divisione in colonna tra i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ e si sostituisce il risultato (quoziente + resto/denominatore) nell’integrale stesso.
• Se $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q$ o si riconduce il numeratore alla derivata del denominatore, o si fa lo stesso la divisione dei polinomi.
• Se $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$:
  • Se $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{Bx+C}dx$ siamo nel caso più facile, numeratore = derivata del denominatore.
  • Se $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{Ax+(E)}{B{x}^2+Cx+d}dx,\text{con }{C}^2-4BD<0$
  • tutti gli altri casi in cui $\mathrm{deg}(N)<\mathrm{deg}(D)$ esprimere la funzione integranda come somma di funzioni razionali fratte.

Integrali noti

Polinomi e razionali

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$ $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$

Esponenziali e logaritmi

$$\int e^{x}dx=e^x+C$$ $$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$$

Trigonometrici

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$ $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$ $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$

Funzioni inverse

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$

Integrali impropri

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx$$