classi laterali

Relazioni di equivalenza destra e sinistra indotta da un sottogruppo

Sia $G$ un gruppo in notazione moltiplicativa; sia $H<G$ un suo sottogruppo. Siano $x$ e $x^{\prime }$ due elementi di $G$. Definiamo una relazione $\sim$ su $G$ come segue:

$$x\sim x^{\prime }⟺x(x^{\prime }{)}^{-1}\in H$$

Si dimostra che è una relazione di equivalenza verificando la riflessività, simmetria e transitività.

Questa relazione serve per partizionare $G$ in classi di equivalenza, che non sono i sottogruppi stessi di $G$ ma delle loro copie traslate di $x$.

Classi laterali destre e sinistre

La classe (laterale destra) di equivalenza di un elemento $x\in G$ è

$$[x{]}_{\sim }=\{y\in G:y\sim x\}=\{y\in G:y{x}^{-1}\in H\}$$

Quindi, vedendo la definizione solo dal punto di vista degli elementi in $h$, possiamo definire le classi laterali destre di $H$ in $G$* : $[x{]}_{\sim }=Hx=\{hx:h\in H\}$

Inoltre $h$ e $x$ nella definizione, possiamo definire una nuova relazione come segue:

$$x\approx x^{\prime }⟺x^{-1}{x}^{\prime }\in H$$

Questa relazione ci da le classi laterali sinistre di $H$ in $G$ : $[x{]}_{\approx }=xH=\{xh:h\in H\}$

Quando le classi laterali destre e sinistre coincidono?

Ovviamente se $G$ è un gruppo abeliano (quindi lo è anche $H$ ereditando l’operazione commutativa da $G$), allora $xH=\{xh:h\in H\}=\{hx:h\in H\}=Hx$, cioè le classi laterali destre e sinistre coincidono.

Però non è detto il contrario, cioè che se $G$ non è abeliano allora le classi non coincidono.

In generale, le due relazioni coincidono ($\sim =\approx$) se e solo se $H$ è un sottogruppo normale di $G$, cioè se $\forall x\in G(xH=Hx)$.