legge condizionata

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie a valori in $S_X$ e $S_Y$ rispettivamente. Sia $y\in S_Y$ tale che $\mathbb{P}(Y-y)=p_y^Y>0$.

La legge di $X$ condizionata all’evento $\{Y=y\}$ è la misura di probabilità su $S_X$ data dai pesetti

$$\forall x\in S_X{p}_{x\mid y}=\mathbb{P}(\{X=x\mid Y=y\})=\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=y)}{\mathbb{P}(Y=y)}$$

Dimostrazione della validità della misura di probabilità

$$\sum _{x\in S_X}\mathbb{P}(X=x\mid Y=y)=\sum _{x\in S_X}\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=y)}{\mathbb{P}(Y=y)}=\frac{1}{\mathbb{P}(Y=y)}\cdot \mathbb{P}(Y=y)=1$$ $$⟹\sum _{x\in S_X}\mathbb{P}(X=x\mid Y=y)=1$$

N.B.: Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, la legge di $X$ condizionata a $\{Y=y\}$ è uguale alla legge non condizionata di $X$, poiché

$$\mathbb{P}(X=x\mid Y=y)=\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=y)}{\mathbb{P}(Y=y)}=\frac{\mathbb{P}(X=x)\cdot \mathbb{P}(Y=y)}{\mathbb{P}(Y=y)}=\mathbb{P}(X)$$

Valore atteso di $X$ condizionato a $\{Y=y\}$

Il valore atteso di $X$ condizionato all’evento $\{Y=y\}$ è dato da:

$$\mathbb{E}(X\mid Y=y)=\sum _{x\in S_X}x\cdot \mathbb{P}(X=x\mid Y=y)$$

Esempio: lancio due dadi

• Sia $X$ la variabile aleatoria che registra il risultato del primo lancio.
• Sia $Y$ la variabile aleatoria che registra il minimo dei due valori ottenuti.

$Y/X$	1	2	3	4	5	6
1	$1/36$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
2	$1/36$	$2/36$	$0$	$0$	$0$	$0$
3	$1/36$	$1/36$	$3/36$	$0$	$0$	$0$
4	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$4/36$	$0$	$0$
5	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$5/36$	$0$
6	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$1/36$	$6/36$

Calcolare la legge di $X$ condizionata all’evento $\{Y=4\}$.

Questa è una legge di probabilità su $S_X=\{1,2,3,4,5,6\}$ con pesetti:

• $\mathbb{P}(X=1\mid Y=4)=\frac{\mathbb{P}(X=1,Y=4)}{\mathbb{P}(Y=4)}=\frac{\mathbb{P}((1,4))}{7/36}=1/7$
• $\mathbb{P}(X=2\mid Y=4)=\frac{\mathbb{P}(X=2,Y=4)}{\mathbb{P}(Y=4)}=\frac{\mathbb{P}((2,4))}{7/36}=1/7$
• $\mathbb{P}(X=3\mid Y=4)=\frac{\mathbb{P}(X=3,Y=4)}{\mathbb{P}(Y=4)}=\frac{\mathbb{P}((3,4))}{7/36}=1/7$
• $\mathbb{P}(X=4\mid Y=4)=\frac{\mathbb{P}(X=4,Y=4)}{\mathbb{P}(Y=4)}=\frac{\mathbb{P}((4,4))}{7/36}=4/7$
• $\mathbb{P}(X=5\mid Y=4)=0$
• $\mathbb{P}(X=6\mid Y=4)=0$

N.B.: Gli eventi $\{X=5\}$ e $\{X=6\}$ sono incompatibili con l’evento $\{Y=4\}$.

Valore atteso: $\mathbb{E}(X\mid Y=y)={\sum }_{X=1}^{6}x\cdot \mathbb{P}(X=x\mid Y=4)=1\cdot \frac{1}{7}+2\cdot \frac{1}{7}+3\cdot 4\cdot \frac{4}{7}+0+0=\frac{22}{7}$