lemmi sui sottogruppi additivi di Z (aZ + bZ)

Studiamo il sottogruppo generico $\mathcal{E}:=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\{\alpha a+\beta b:\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}\},a,b\in \mathbb{Z}\wedge (a\ne 0\vee b\ne 0)$.

Lemmi

1. Proprietà dei sottogruppi additivi di $\mathbb{Z}$

1. $-\mathcal{E}=\mathcal{E}$ ($\mathcal{E}$ è stabile per opposto)
2. $\forall \alpha ,\beta \in \mathcal{E}(\alpha +\beta \in \mathcal{E})$
3. $\forall \alpha \in \mathcal{E}(x\in \mathbb{Z}⟹\alpha x\in \mathcal{E})$

2. Caratterizzazione dei sottogruppi additivi di $\mathbb{Z}$

$\exists \delta \in {\mathbb{N}}^{\star }(\mathcal{E}=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\delta \mathbb{Z}),a\ne 0\vee b\ne 0$

N.B.: $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}:=\{\alpha a+\beta b:\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}\}$, cioè l’insieme di tutte somme possibili tra di tutti i multipli di $a$ e di $b$.

N.B.: In particolare, se $a$ e $b$ sono coprimi, allora $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$.

3. Identità di Bézout e definizione di MCD

(Prendendo $\delta$ dal lemma 3)

$\delta =\text{MCD}(a,b)$

4. Lemma di Gauss (co-primalità e divisibilità)

$a,b,c\in \mathbb{Z}-\{0\}\wedge \text{MCD}(a,b)=1⟹(a\mid bc⟹a\mid c)$

5. Equivalenza tra primalità e irriducibilità in $\mathbb{Z}$

In $\mathbb{Z}$, un numero è irriducibile se e solo se è primo.