numeri razionali

Estensione dei numeri interi $Q=\{\frac{p}{q},p\in Z,q\in N-\{0\}\}$

dimostrazione per assurdo dell’irrazionalità della radice di 2

IPOTESI (da contraddire): $\exists x|x^2=2\wedge x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$

1. $p$ e $q$ non hanno fattori in comune perché sono ridotti ai minimi termini
2. $x=\frac{p}{q}\to x^2=\frac{p^2}{q^2}=2$
3. $p^2=2q^2$
4. $p$ è un numero pari $⟹$ $p^2$ è un numero pari $⟹$ $2q^2$ è un numero pari
5. dato che $2q^2$ è pari, si può riscrivere come il doppio di un altro numero intero $2q^2=(2r{)}^2\to 2q^2=4r^2\to q^2=2r^2⟹$ q è pari
6. l’affermazione ”$p$ e $q$ sono pari”, è un’assurdo che contraddice l’ipotesi di partenza, quindi $x^2=2$ non appartiene ai numeri razionali. Ciò dimostra che nell’insieme dei numeri razionali si possono fare le divisioni, ma per le radici bisogna introdurre l’insieme dei numeri reali.

numeri periodici

• Nonostante abbiano cifre infinite nella rappresentazione decimale (con la virgola), sono rappresentati da una quantità di informazioni finite (la frazione generatrice)

ES: $2,45\overline{332}=\frac{245332-245}{99900}=\frac{\text{tutto il numero senza la virgola - tutto il numero tranne il periodo}}{\text{tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante le cifre dell’antiperiodo}}$

• I numeri periodici di periodo $\overline{9}$ non sono ammessi, perché contraddirebbero il fatto che a ogni rappresentazione decimale di un numero reale (che è univoca) corrisponde uno e un solo numero, infatti è facile dimostrare che $0,\overline{9}=1$ perché tra i due non esiste nessun valore intermedio.