trasformazione di variabili aleatorie

Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di densità $f_X$. Sia $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione data. Ci chiediamo che legge abbia $Y=g(x)$.

In generale, se $Y=g(X)$ con $g$ è una funzione strettamente crescente, allora calcolo la legge di $Y$ come segue:

1. Calcolo $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(g(X)\le y)=\mathbb{P}(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))$
2. Derivo: $f_Y=\frac{d}{dy}(F_X(g^{-1}(y)))$

Esempi

Sia $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ (legge Gaussiana generica) e sia $Y=g(X)=\frac{X-\mu }{\sigma }$.

Idea: Passiamo per la funzione di distribuzione $F_Y(Y)=\mathbb{P}(Y\le y)$, la cui derivata è $f_Y$.

$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\le y\right)=\mathbb{P}(X\le \sigma y+\mu )=F_X(\sigma y+\mu )$$

Ora deriviamo $F_X$ per ottenere $f_X$, che già conosciamo, perché è la funzione di densità della gaussiana generica (applicata a $\sigma y+\mu$, non a $x$)

$$f_X(y)=F_Y^{\prime }(y)=\frac{d}{dx}(F_X(\sigma y+\mu ))=F_X^{\prime }(\sigma y+\mu )\cdot \sigma =f_X(\sigma y+\mu )\cdot \sigma =\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot \sigma =\frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}$$

Quindi $Y\sim N(0,1)$ (legge Gaussiana standard).

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Sia $X\sim \text{Uniforme}[a,b]$ e sia $Y=2X=g(X)$.

1. Calcoliamo $F_Y(y)$:

$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(2X\le y)=\mathbb{P}\left(X\le \frac{y}{2}\right)=F_X\left(\frac{y}{2}\right)$$

2. Deriviamo:

$$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=\frac{d}{dx}\left(F_X\left(\frac{y}{2}\right)\right)=f_x\left(\frac{y}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{1_{[a,b]}\left(\frac{y}{2}\right)}{b-a}$$

$1_{[a,b]}\left(\frac{y}{2}\right)$ è una funzione che vale $1$ se $a\le \frac{y}{2}\le b$ e $0$ altrimenti, quindi possiamo riscrivere

$$f_Y=\frac{1_{[2a,2b]}(y)}{2b-2a}$$

Quindi $Y\sim \text{Uniforme}[2a,2b]$

In generale se $Y=\alpha X$ con $\alpha >0$ vale che $Y\sim \text{Uniforme}[\alpha a,\alpha b]$.

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Sia $X\sim \text{Uniforme}[0,1]$ e sia $Y=-\log X$.

Alla fine si ottiene $Y\sim e^{-x}\cdot 1_{[0,+\infty )}(x)$ (legge esponenziale).

Metodo della trasformazione inversa (Inverse Transform Sampling)

N.B.: Il procedimento dell’esempio precedente si può riutilizzare per costruire variabili aleatorie continue a partire da una variabile $X\sim \text{Uniforme}[0,1]$.

Infatti, se $F$ è una funzione di distribuzione strettamente crescente, allora $Y=F^{-1}(X)$ ha funzione di distribuzione

$$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(F^{-1}(X)\le Y)=\mathbb{P}(X\le F_X(y))=\frac{d}{dy}(F_X(y))=f_X(y)\cdot f^{\prime }(y)$$

Esempio: sia $X\sim \text{Cauchy}$ (legge di Cauchy) e sia $Y=\arctan (X)$.

1. Allora $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(\text{arctan}(X)\le y)=\mathbb{P}(X\le \tan y)=F_X(\tan y)$.
2. $f_Y(y)=\frac{d}{dx}{F}_X(\tan y)=f_X(\tan y)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}y}=\frac{1}{\pi \cdot (1+{\tan }^{2}y)}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}y}=\frac{1}{\pi }$ per $y\in (\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.
3. Quindi se $X\sim \text{Cauchy}$, $Y=\arctan (X)\sim \text{Uniforme}(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.