Esercizi su strutture algebriche e divisibilità

1.

Dimostrare che nessun elemento di $(4\mathbb{Z}+3\mathrm{mod}4)=\overline{3}$ è somma di due quadrati.

• $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$
• $4\mathbb{Z}=\{\dots ,-8,-4,0,4,8,\dots \}$
• $4\mathbb{Z}+3=\{\dots ,-5,-1,3,7,11,\dots \}$
• $4\mathbb{Z}+3\mathrm{mod}4=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$

Supponiamo per assurdo che $x\in 4\mathbb{Z}+3$ sia tale che $x=y^2+z^2$ con $y,z\in \mathbb{Z}$.

$\overline{x}={\overline{y}}^2,{\overline{z}}^2$ con $\overline{x},\overline{y},\overline{z}$ classi di $\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$.

$\overline{y}$	${\overline{y}}^2$
$\overline{0}$	$\overline{0}$
$\overline{1}$	$\overline{1}$
$\overline{2}$	$\overline{0}$
$\overline{3}$	$\overline{1}$

valori ${\overline{y}}^2$ sotto, ${\overline{z}}^2$ a destra, ${\overline{y}}^2+{\overline{z}}^2$ nella tabella	$\overline{0}$	$\overline{1}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$
$\overline{1}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$

$\overline{3}$ non appartiene a questa tabella, quindi non può essere espresso come somma di classi in $\{\overline{0},\overline{1}\}$.

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2.

Siano $a,c\in {\mathbb{Z}}^{\star }$ primi fra loro. Siano $b,d\in \mathbb{Z}$. Mostrare che $(a\mathbb{Z}+b)\cap (c\mathbb{Z}+d)\ne 0$.

Intuizione

Praticamente ci si sta chiedendo se questi due insiemi hanno un’intersezione. Intuitivamente si possono vedere come i codomini di due rette, dato che sono descritti da equazioni uguali a quella delle rette. L’intersezione tra i due è quindi l’intersezione delle due rette, che si può trovare con la stessa formula.

Dimostrazione

1. Per la proprietà di chiusura del prodotto e dell’addizione in $\mathbb{Z}$, $a\mathbb{Z}+b\in \mathbb{Z}$ e $c\mathbb{Z}+d\in \mathbb{Z}$.
2. Gli elementi di $a\mathbb{Z}+b$ sono descritti da $\{ax+b,x\subseteq \mathbb{Z}\}$.
3. Gli elementi di $c\mathbb{Z}+d$ sono descritti da $\{cy+d,y\subseteq \mathbb{Z}\}$.
4. Se i due anelli hanno un elemento in comune, la proposizione $\exists x,\exists y(ax+b=cy+d)$ sarebbe soddisfatta.
5. Riordinando l’equazione, abbiamo $ax+b=cy+d⟺ax-cy=d-b$
6. Dato che $a$ e $c$ sono coprimi, per la caratterizzazione dei sottogruppi additivi di $\mathbb{Z}$ sappiamo che $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$; ciò garantisce che $\exists x^{\prime },y^{\prime }\in \mathbb{Z}(a{x}^{\prime }-c{y}^{\prime }=1)$
7. Moltiplichiamo per $d-b$ entrambi i membri: $(d-b)(a{x}^{\prime }-c{y}^{\prime })=d-b$
8. Distribuiamo: $(d-b)x^{\prime }a-(d-b)y^{\prime }c=d-b$
9. L’equazione ha la stessa struttura di quella riordinata nel punto 5, quindi sicuramente $x=(d-b)x^{\prime }\wedge y=(d-b)y^{\prime }$. Avendo dimostrato che $x$ e $y$ esistono, l’equazione del punto 4 è soddisfatta. $\square$