varianza di una variabile aleatoria

Sia $X$ una variabile aleatoria a valori in $S_X$ con pesetti $(p_x{)}_{x\in S_X}(p_x=\mathbb{P}(X=x))$. ricordiamo che il valore atteso (media) di $X$ è definito da

$$\mathbb{E}(X):=\sum _{x\in S_X}x\cdot p_x\underset{p_x=\mathbb{P}(X=x)}{=}\sum _{x\in S_X}x\cdot \mathbb{P}(X=x)$$

Ora ci chiediamo quanto è grande l’errore che in meda si commette, cioè la distanza dalla media (valore atteso), approssimando $X$ al suo $\mathbb{E}(X)$. La varianza $\text{Var}$ della variabile aleatoria è data da:

$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X){)}^2\right]=\sum _{x\in S_X}(X-\mathbb{E}(X){)}^2\cdot p_x$$

o equivalentemente:

$\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2$

Dimostrazione:

$\mu =\mathbb{E}(X{)}^2$ (cambio di variabile)

$\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2+\mathbb{E}(X{)}^2-2X\mathbb{E}(X))=E(X^2)-2\mu \mathbb{E}(X)+{\mu }^2=\mathbb{E}(X^2)+{\mu }^2-2{\mu }^2=\mathbb{E}(X^2)-{\mu }^2=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2$

Vedi anche: casi notevoli di varianza e valore atteso

Varianza di una variabile aleatoria continua

La varianza di una variabile aleatoria $X$ continua è data da

$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X){)}^2\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }(X-\mathbb{E}(X){)}^2\cdot f(x)dx$$

o equivalentemente:

$\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx-({\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx{)}^2$

Proprietà, tutte valide sia nel discreto che nel continuo

• è sempre $\ge 0$ per qualsiasi variabile aleatoria.
• la varianza di una variabile aleatoria è 0 se e solo se la variabile aleatoria è degenere, cioè $X=\mathbb{E}(X)$.
• $\text{Var}(cX)=c^2\cdot \text{Var}(X)$
• $\text{Var}(c+X)=\text{Var}(X)$
• $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$ (covarianza)

Esempi

1.

Consideriamo la distribuzione di probabilità a valori $X\in S_X=\{0,1,2\}$ con pesetti $p_0=\frac{1}{2},p_1=\frac{1}{6},p_2=\frac{1}{3}$

• $\mathbb{E}(X)=0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot p_2=\frac{5}{6}$
• $\mathbb{E}(X^2)=0\cdot p_0+1\cdot p_1+4\cdot p_2=\frac{3}{2}$

La varianza ($\text{Var}$) è $\frac{3}{2}-(\frac{5}{6}{)}^2=\frac{29}{36}$.

Osservazione: $\mathbb{E}(X)=0⟹\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)$

2.

Sia $Y$ una variabile aleatoria a valori in $S_Y=\{-a,0,a\}$ per $a>0$.

Con pesetti $p_{-a}=\frac{1}{4},p_0=\frac{1}{2},p_2=\frac{1}{4}$

Come nel primo esempio, $\mathbb{E}(Y)=\frac{-a}{4}+\frac{a}{4}=0$, ma $\mathbb{E}(Y^2)=(-a{)}^2\cdot \frac{1}{4}+(0{)}^2\cdot \frac{1}{2}+(a^2)\cdot \frac{1}{4}=\frac{a^2}{2}$, quindi $\text{Var}=\frac{a^2}{2}$.

Osservazione: più grande è $a$, più è grande la varianza.