covarianza di due variabili aleatorie

La covarianza di due variabili aleatorie $X$ e $Y$ è un valore numerico che fornisce una misura di quanto due variano assieme: è il valore atteso del prodotto delle loro distanze dalla media (varianze):

$$\text{Cov}(X,Y)=E(\text{Var}(X)\cdot \text{Var}(Y))=E[(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))]$$

ma può anche essere espressa così

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)$$

applicando la proprietà di linearità del valore atteso.

^ da Wikipedia

Esplicitando l’ultima formula si ottiene

$$\sum _{x\in S_X}\sum _{y\in S_Y}\left(XY\cdot \mathbb{P}(X=x,Y=y)-\sum _{x\in S_X}x\mathbb{P}(x)\cdot \sum _{y\in S_Y}y\mathbb{P}(y)\right)$$

$\mathbb{P}(X=x,Y=y)$ è la legge congiunta di X e Y.

Proprietà

1. $\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$
2. $\text{Cov}(X,c)=E(cX)-E(c)E(X)=0$
3. $E(X)=0\vee E(Y)=0⟹\text{Cov}(X,Y)=E(XY)$
4. $\text{Cov}(aX,Y)=a\cdot \text{Cov}(X,Y)$
5. $\text{Cov}(aX,bY)=ab\cdot \text{Cov}(X,Y)$
6. $\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$, cioè la covarianza è simmetrica
7. $\text{Cov}(X,Y+Z)=\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(X,Z)$
8. $\text{Cov}(X,Y+c)=\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(X,c)=\text{Cov}(X,Y)$
9. $X,Y$ indipendenti $⟹\text{Cov}(X,Y)=0$.

Da queste proprietà deriva che la covarianza è bilineare, cioè $\text{Cov}(aX+bY,Z)=a\text{Cov}(X,Z)+b\text{Cov}(Y,Z)$.