probabilità condizionata

Se $A$ e $B$ sono eventi su $\Omega$ tali che $\mathbb{P}(B)>0$, allora definiamo

$$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$

Che si legge $A$ condizionato a $B$, e chiamiamo $\mathbb{P}(A\mid B)$ probabilità di $A$ condizionata a $B$.

N.B.: Non è una definizione simmetrica ($\mathbb{P}(A\mid B)\ne \mathbb{P}(B\mid A)$).

Generalizziamo. Sia $A$ un evento in $\Omega$ e siamo $B_1,B_2,\dots ,B_n$ eventi disgiunti tali che $B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n=\Omega$ (in altre parole $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ è una partizione di $\Omega$).

$$\mathbb{P}(B_k)>0\forall 1\le k\le n\mathbb{P}(A)=\sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A\mid B_k)\cdot \mathbb{P}(B_k)$$

Dimostrazione:

$$A=A\cap \Omega =A\cap ({\cup }_{k=1}^n{B}_k)={\cup }_{k=1}^n(A\cap B_k)$$ $$\mathbb{P}(A)=\sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A\mid B_k)\cdot \mathbb{P}(B_k)$$

Esempio 1

Pesco una carta da un mazzo di 52 carte.

Siano:

• $A=\{\text{la carta eˋ pari}\}$
• $B=\{\text{la carta eˋ 4}\}$

Notiamo che:

• $|\Omega |=52$
• $|A|=24$
• $|B|=4$
• $|A\cup B|=4$ (nota: $B\subset A$)

$$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\frac{4}{52}}{\frac{4}{52}}=1$$ $$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\frac{4}{52}}{\frac{24}{52}}=\frac{1}{6}$$

Esempio 2

Lancio un dado, e se esce $k$ lancio $k$ monete.

Calcolare

$$\mathbb{P}(\text{vedo esattamente 2T})$$ $$A=\{\text{vedo 2T}\}$$

Siano $B_1,B_2,\dots ,B_6$ gli eventi $B_k=\{\text{il lancio da k}\},1\le k\le 6$.

Dalla legge della probabilità totale

$$\mathbb{P}(A)=\sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A\mid B_k)\cdot \mathbb{P}(B_k)$$

• $\mathbb{P}(A\mid B_1)=0$
• $\mathbb{P}(A\mid B_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(A\mid B_3)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(A\mid B_4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(A\mid B_5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$
• $\mathbb{P}(A\mid B_5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$

$$\mathbb{P}(A)=\sum _{k=1}^6\mathbb{P}(A\mid B_k)\cdot \mathbb{P}(B_k)=\sum _{k=1}^6\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)(\frac{1}{2}{)}^k\cdot \frac{1}{6}$$

Intuizione sulla formula

Perché abbiamo chiamato $\mathbb{P}(A\mid B)$ probabilità condizionata?

Quando condiziono a $B$ (studio gli eventi per cui anche $B$ si verifica sicuramente), escludo tutti gli eventi in $\Omega -B$. Quindi l’evento $A$ viene “ristretto” all’evento $B$.

Osservazione / identità importantissima

$$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\to \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\mid B)\cdot \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\mid A)\cdot \mathbb{P}(A)$$

Ciò ci permette di calcolare le probabilità “come facciamo nella nostra testa” con la legge della probabilità totale.

Proprietà della probabilità condizionata

1. Per qualsiasi evento $A$, $\mathbb{P}(A\mid A)=1$, infatti $\mathbb{P}(A\mid A)=\frac{\mathbb{P}(A\cap A)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A)}=1$
2. Se $A\subseteq B$, allora $\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$ e $\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A)}$. Inoltre, $A\subset B$ allora $\mathbb{P}(A\mid B)<1$ poiché $\mathbb{P}(A)<\mathbb{P}(B)$
3. Probabilità condizionata e indipendenza. Se $A$ e $B$ sono eventi indipendenti ($A\perp \perp B$) allora $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$ e $\mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}(A)$, infatti $\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A)$ (per la definizione stessa di indipendenza). Similmente, $\mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}(B)$. (Stiamo supponendo $\mathbb{P}(A)>0\wedge \mathbb{P}(B)>0$).

N.B.: vale anche il viceversa. Se $A$ e $B$ sono eventi tali che $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$ oppure $\mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}(B)$, allora vale che $A\perp \perp B$. Infatti $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$.