stima della p-value

Osserviamo $n$ lanci ripetuti di una moneta truccata, ma non conosciamo $p$ (la probabilità di testa). Vogliamo usare le osservazioni dell’esperimento per stimare $p$. Abbiamo tolleranza per un errore dell’1%. Quante osservazioni ci servono (quanto deve essere grande $n$) per stimare $p$ entro la soglia di tolleranza?

Stimiamo $p$ con la proporzione di teste $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_K$.

Chiediamo quanto deve essere grande $n$ per essere sicuri che

$$\mathbb{P}(|\overline{X}-p|\ge 0.01)\le \epsilon$$

• $\overline{X}$ è la stima di $p$
• $\epsilon$ è la probabilità di errore (umano) dell’esperimento

Per la disuguaglianza di Ghebyshev sappiamo che

$$\mathbb{P}(|\overline{X}-p|\ge 0.01)\le \frac{p(1-p)}{n(0.01{)}^2}\le \epsilon$$

Come ci assicuriamo che $n$ sia abbastanza grande tale che

$$\frac{p(1-p)}{n(0.01{)}^2}\le \epsilon \forall p\in (0,1)?$$

Basta considerare il worst case scenario, richiedendo che

$$\underset{p\in (0,1)}{\max }\left(\frac{p(1-p)}{n(0.01{)}^2}\right)\le \epsilon$$

con $p=\frac{1}{2}$, cioè che

$$\frac{1}{4n(0.01{)}^2}\le \epsilon \to n\ge \frac{1}{4\epsilon (0.01{)}^2}$$