anello

+> Gli anelli sono un caso specifico dei gruppi. Un anello commutativo con unità è una sestupla $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ dove:

• $A$ è un insieme non vuoto che contiene gli elementi dell’anello su cui agiscono le operazioni,
• $+$ è un’operazione binaria $A\times A\to A$,
• $\cdot$ è un’operazione binaria $A\times A\to A$,
• $-$ è un’operazione unaria $A\to A$,
• $0(\in A)$ è il neutro additivo,
• $1(\in A)$ è il *neutro moltiplicativo.

Su di esso valgono i seguenti assiomi additivi:

1. Commutatività
2. Associatività
3. Esistenza del neutro additivo ($\exists a\in A:a+0=0+a=a$)
4. Esistenza dell’opposto additivo ($\exists a\in A:a+(-a)=0$)

e i seguenti assiomi moltiplicativi:

1. Associatività
2. Distributività a sinistra ($a(b+c)=ab+ac$)
3. Distributività a destra ($(a+b)c=ac+bc$)
4. Commutatività
5. Esistenza del neutro moltiplicativo $a\cdot 1=1\cdot a=a$

N.B.: Il neutro additivo e il neutro moltiplicativo sono unici $⟹\forall a\in A$ l’opposto $-a$ di $a$ è unico.

N.B.: $\mathbb{Z}$ è un gruppo ma $\mathbb{N}$ no.

Osservazione: Se prendiamo un anello e rimuoviamo la nozione di moltiplicazione e tutti i suoi assiomi, otteniamo un gruppo.

Unità o elementi invertibili

Sia $A$ un anello. $a\in A$ si dice invertibile o unità se $\exists b\in A(ab=ba=1)$. Se esiste, $b$ è unico e si denota con $a^{-1}$.

Definiamo il sottoinsieme delle unità o elementi invertibili di $A$ come $A^{\times }=\{a\in A:\exists b\in A(ab=ba=1)\}$.

Per definizione, $A^{\times }$ si dice chiuso per prodotto e per inverso, cioè il prodotto di due elementi di $A^{\times }$, e l’inverso di un elemento di $A^{\times }$ danno come risultato un elemento di $A^{\times }$.

N.B.: Nell’anello $\mathbb{Z}$, l’insieme ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{1,-1\}$, perché sono gli unici elementi che soddisfano $ab=ba=1$.

Allora:

1. Per l’assioma di esistenza del neutro moltiplicativo $1\in A^{\times }\wedge 1^{-1}=1⟹A^{\times }\ne \varnothing$.
2. $a\in A^{\times }⟹a^{-1}\in A^{\times }\wedge (a^{-1}{)}^{-1}=a$.
3. $a,b\in A^x⟹ab\in A^x\wedge (ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ per gli anelli non commutativi ma per gli anelli commutativi vale anche $a,b\in A^x⟹ab\in A^x\wedge (ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$.

Anello quoziente

L’anello quoziente di un anello $A$ per una relazione $\mathcal{R}$ è l’insieme quoziente dei suoi elementi, sul quale si mantengono tutte le operazioni già definite in $A$.

La notazione, $\frac{A}{\mathcal{R}}$, è la stessa dell’insieme quoziente.

Insieme degli invertibili o gruppo moltiplicativo

L’insieme degli invertibili o gruppo moltiplicativo di un’anello $A$ è definito

$$A^{\times }=\{a\in A:\exists b\in A(a\cdot b=1)\}$$

Ad esempio ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{-1,1\}$.

Insieme degli invertibili dell’anello quoziente

L’insieme degli invertibili è definito come la parte moltiplicativa invertibile, o gruppo moltiplicativo (${}^{\times }$) dell’anello quoziente $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$, cioè ${\left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)}^{\times }=\{\overline{a}:a\in \mathbb{Z}\text{MCD}(a,n)=1\}$, ovvero l’insieme di tutte le classi i cui elementi sono coprimi con $n$.

Quali elementi dell’anello quoziente sono invertibili?

Sia $A=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}},n\in {\mathbb{N}}^{\star }$ un anello, sia $A^{\times }=\{x\in A:x\text{invertibile}\}$

Calcoliamo $(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}{)}^{\times }=\{\overline{a}\in \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}:\exists \overline{b}(\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{1})\}$, cioè l’insieme degli invertibili (o gruppo moltiplicativo) modulo $n$, di cui ogni elemento è una classe di equivalenza di $\mathbb{Z}$ secondo la relazione $n\mathbb{Z}$.

N.B: Le classi seguono la notazione: $\overline{\text{rappresentante}}$.

Calcoliamo $A^{\times }=(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}{)}^{\times },n\in {\mathbb{N}}^{\star }=\{\overline{a}\in \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}:\exists \overline{b}(\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{1})\}$.

Osservazione sul MCD:

$$\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{1}⟺a\cdot b\equiv 1\mathrm{mod}n⟺n\mid ab-1⟺\exists k\in \mathbb{Z}(ab-1=nk)⟺ab-nk=1⟺\text{MCD}(a,n)=1$$

Abbiamo trovato una identità di Bézout che lega la definizione originale di insieme degli invertibili (o gruppo moltiplicativo) al concetto di minimo comune multiplo, quindi ora possiamo scrivere:

$${\left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)}^{\times }=\{\overline{a}:a\in \mathbb{Z}\text{MCD}(a,n)=1\}$$

Esempio di costruzione

Si parte trovando l’anello quoziente (1) poi si filtrano solo gli elementi invertibili (2).

Esempio: ${\left(\frac{\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}\right)}^{\times }$

1. Troviamo l’insieme quoziente detto “di $\mathbb{Z}$ (insieme) per $n\mathbb{Z}$ (relazione)”. $n\mathbb{Z}$ è un modo compatto di scrivere la relazione $a\mathcal{R}b⟺a-b\in n\mathbb{Z}$ ($a$ e $b$ differiscono di un multiplo di $n$, $n\mathbb{Z}$ in questo contesto è l’insieme dei multipli di $n$ contenuti in $\mathbb{Z}$). Osserviamo che $a-b\in 24\mathbb{Z}$ è la congruenza modulo 24, quindi $a\mathcal{R}b⟺a\equiv b\mathrm{mod}24$.

Gli elementi di $\frac{\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}$ saranno le classi di equivalenza della relazione $a\mathcal{R}b⟺a\equiv b\mathrm{mod}24$.

(SCR) sistema completo di rappresentanti della relazione:

• $\overline{0}=\{\dots ,-48,-24,0,24,48,\dots \}$
• $\overline{1}=\{\dots ,-47,-23,1,25,49,\dots \},$
• $\overline{2}=\{\dots ,-46,-22,2,26,50,\dots \},$
• $\dots$
• $\overline{23}=\{\dots ,-25,-1,23,47,71,\dots \}$.

2. Il punto 1 non basta, perché $\frac{\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}\ne {\left(\frac{\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}\right)}^{\times }$, infatti dobbiamo prendere solo gli elementi di $\frac{\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}$ che hanno un inverso moltiplicativo. Sono quelli per cui $\text{MCD}(a,24)=1$, cioè tutte le classi i cui rappresentanti sono coprimi con 24. Vedi (MCD) massimo comun divisore.

Alla fine otteniamo ${\left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)}^{\times }=\{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11},\overline{13},\overline{17},\overline{19},\overline{23}\}$

Osservazione: se $n=p$ è primo, $(\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}{)}^{\times }$ contiene solo classi prime. In altri termini $\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ ha la proprietà che ogni elemento $\ne \overline{0}$ è invertibile; ovvero $\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ è un campo.

Altre proprietà generali degli anelli

1. se $a\in A$ è invertibile, allora l’inverso è unico
2. $\forall a\in A(a\cdot 0_A=0_A)$
3. $1_A=0_A⟹A=0_A$
4. $1_A=0_A⟹0_A\notin A^{\times }$
5. $0_A\ne 1_A⟹\exists !1_A\wedge \exists !0_A$

L’insieme dei polinomi è un anello

L’insieme dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{R}$ in $x$ indeterminata si scrive $\mathbb{R}[x]$ ed è un anello.

Il fatto che anche i polinomi (che sono un‘“astrazione dei numeri”) siano un anello fa capire quanto sia potente l’astrazione introdotta dagli anelli.