campo

Un campo è un anello commutativo tale che $A^{\times }=A-\{0\}$, cioè tutti gli elementi diversi dal neutro additivo sono invertibili.

$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ (infiniti) sono campi, ma anche tutti gli insiemi quozienti ${\mathbb{F}}_p=\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ (finiti!) su cui sono definite addizione e moltiplicazione; invece $\mathbb{Z}$ non è un campo, perché ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{-1,1\}$ è diverso da $\mathbb{Z}-\{0\}$.

I campi finiti possono essere classificati:

Per ogni potenza di un primo $q=p^{\alpha }\alpha \ge 1$ esiste un unico campo finito ${\mathbb{F}}_q$ con $q$ elementi.

Se $\alpha =1$ sappiamo come costruirli, se $\alpha \ge 2$ è più difficile. Si potrebbe pensare ad esempio che l’insieme degli invertibili $(\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}{)}^{\times }=\{\overline{1},\overline{3}\}$ sia un campo, ma ciò è falso perché 4 non è primo.

Esempio di campo: ${\mathbb{F}}_5^{\times }$ (si vedrà che è anche un gruppo)

${\mathbb{F}}_5^{\times }=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}$ (classi modulo 5 (${\mathbb{F}}_5$) senza $\overline{0}$, perché non è invertibile).

Tabella del prodotto $\cdot$ (operazione ereditata da $\mathbb{Z}$): notare la simmetria della tabella, causata dalla simmetria di questa operazione.

$\cdot$	1	2	3	4
1	$\boxed{1}$	2	3	4
2	2	4	$\boxed{1}$	3
3	3	$\boxed{1}$	4	2
4	4	3	2	$\boxed{1}$

Si vede dalla tabella $\left(\boxed{1}\right)$ che a differenza del prodotto in $\mathbb{Z}$, il prodotto su ${\mathbb{F}}_5^{\times }$ è chiuso, non per un assioma, ma per la definizione stessa di prodotto: $G\times G\to G$.

N.B.: $({\mathbb{F}}_5^{\times },\cdot ,\overline{1})$ è un gruppo abeliano: $\ast$ è il prodotto $\cdot$ di classi e $e=\overline{1}$.