dipendenza funzionale

Una dipendenza funzionale stabilisce un particolare legame semantico tra due insiemi non vuoti di attributi $X$ e $Y$ appartenenti ad uno schema $R$.

Tale vincolo si scrive $X\to Y$ e si legge $X$ determina $Y$.

• $X$ si dice determinante,
• $Y$ si dice determinato.

In modo astratto, si può considerare la dipendenza funzionale come la coppia ordinata di sottoinsiemi di $R$, cioè $(X,Y)$.

Ad esempio il modello di macchina “Punto” determina la marca “Fiat”. L’importante è che non possa assegnare “Punto” a due marche diverse.

Chiamiamo $F$ l’insieme di tutte le dipendenze funzionali definite esplicitamente di uno schema di relazione soddisfatte da un’istanza per essere definita legale.

Chiamiamo $F^{+}$ la chiusura di $F$ l’insieme di tutte le dipendenze funzionali soddisfatte da un’istanza, anche quelle banali o quelle che emergono implicitamente dalla struttura stessa dell’istanza.

Calcolare $F^{+}$ è molto difficile, però si può dimostrare che questo insieme coincide con la chiusura di Armstrong ($F^A$), più facile da calcolare.

Ovviamente $F\subseteq F^{+}$.

Dipendenze funzionali banali

Dati uno schema di relazione $\mathcal{R}$ e due sottoinsiemi non vuoti $X,Y\subseteq \mathcal{R}$, tali che $Y\subseteq X$ si ha che ogni istanza $r$ di $\mathcal{R}$ soddisfa la dipendenza funzionale (detta banale) $X\to Y$.

N.B.: è matematicamente impossibile violare una dipendenza funzionale banale, perché ad esempio $(a_1,b_1,c_1)=(a_2,b_2,c_2)⟹(a_1,b_1)=(a_2,b_2)$.

Osservazione: $X\to Y\in F^{+}⟺\forall A\in Y(X\to A\in F^{+})$

Comunque esse entrano in $F^{+}$.

Equivalenza di insiemi di dipendenze funzionali

Siano $F$ e $G$ due insiemi di dipendenze funzionali. $F\equiv G$ se $F^{+}=G^{+}$. Cioè $F$ e $G$ potrebbero non contenere le stesse dipendenze, ma le loro chiusure sì.