EDO non lineari del primo ordine a variabili separabili

Le equazioni differenziali a variabili separabili sono equazioni differenziali del primo ordine non lineari del tipo

$y^{\prime }(x)=a(x)\cdot b(y(x))$

Procedimento risolutivo

È consigliato usare la notazione compatta $y(x)=y$, $y^{\prime }(x)=y^{\prime }$ ed esplicitarla solo alla fine.

0. Controllare l’esistenza delle soluzioni costanti

Se esiste un $y_0:b(y_0)=0$ allora $y(x)=y_0$ è la soluzione dell’equazione per annullamento del prodotto. Tali soluzioni sono dette soluzioni costanti o stazionarie.

$$b(y_0)=0\to y(x)=y_0$$

1. Separare delle variabili

Si riscrive $y^{\prime }$ come $\frac{dy}{dx}$, poi si portano da un lato dell’equazione tutto ciò che è in relazione alla $y$ e dall’altro quello che in relazione con la $x$.

$$\frac{dy}{dx}=a(x)\cdot b(y)\to \frac{dy}{b(y)}=a(x)dx$$

2. Integrare ciascun membro alla variabile a cui dipende

Si integra il membro che ha $dy$ rispetto alla $y$ e il membro che ha $dx$ rispetto alla $x$, facendo attenzione ad aggiungere una costante arbitraria $c$ al membro della $x$.

$$\int \frac{dy}{b(y)}=\int a(x)dx\to \dots =\dots +c$$

(^ info prese da Elia Bombardelli)