operazioni fra gli insiemi

Unione

$A\cup B=\{x|x\in \text{A}\text{ oppure }x\in B\}$

Intersezione

$A\cap B=\{x|x\in A\text{ e }x\in B\}$

Insiemi disgiunti

Due insiemi $A$ e $B$ sono disgiunti se ($A\cap B=\varnothing$)

N.B.: $\varnothing$ è disgiunto da qualsiasi insieme ($A\cap \varnothing =\varnothing$)

N.B.: Tutti gli insiemi contengono almeno 2 insiemi disgiunti, anche l’insieme vuoto

Differenza

$A-B=\{x|x\in A,x\notin B\}$

Complemento

$\overline{A}=\{x\in U|x\notin A\}$

Considerando un sottoinsieme di A, il complemento è l’insieme di tutti gli elementi rimanenti di A. Il complementazione è l’operatore $\overline{A}$ dell’interpretazione ‘ad aree’ dell’algebra di Boole.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano ($\times$) di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme di tutte le coppie possibili di A e B, le quali NON sono insiemi ma coppie ordinate.

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$

$|A|=|a_1\times a_2\times \dots \times a_n|={\prod }_{k=1}^n|a_k|$

Si noti che ogni punto del piano cartesiano è un elemento dell’insieme $A\times B$.

• dimostrazione della proprietà commutativa del prodotto cartesiano rispetto all’unione