teorema di Rouché-Capelli

Si consideri il sistema di equazioni lineari $(\ast )AX=B,A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(K),B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{m,n}(K)$.

$(\ast )$ è compatibile $⟺\text{rg}(A)=\text{rg}(A\mid B)$. Esiste una corrispondenza biunivoca $\text{Sol}(A\mid B)⟷K^{n-\text{rg(A)}}$: cioè la soluzione del sistema è isomorfo al campo $K^{n-rg(A)}$. Ad esempio un sistema lineare con 3 indeterminate e rango 2 è isomorfo a $\mathbb{R}$, perché 2 equazioni (tranne una banale) possono essere scritte in termini di una sola indeterminata, che può variare liberamente sulla retta numerica.

Esempio: studiare la risoluzione del sistema $(\ast )$:

$$(\ast )=\{\begin{array}{l}{x}_2-2x_3+x_4-x_5=6\\ x_3-x_4=-2\\ x_1-x_2-x_3-x_4=5\\ x_2+x_5=0\end{array}$$ $$M=(A\mid B)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& -2& 1& -1& 6\\ 0& 0& 1& -1& 0& -2\\ 1& -1& -1& -1& 0& 5\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{⌣}{⌢}}{\dots }\left(\begin{array}{cccccc}\boxed{1}& -1& -1& -1& 0& 5\\ 0& \boxed{1}& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& \boxed{1}& -1& 0& -2\\ 0& 0& 0& \boxed{1}& 2& -2\end{array}\right)$$

$\text{rg}(A)=4=\text{rg}(A\mid B)⟹(\ast )$ è compatibile.

Esercizio

$W={\mathbb{R}}^3$

$I=\left\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)\right\}$

Dire se $I$ è:

1. Libero

$\forall \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$ se $x\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ (cioè la combinazione lineare banale) allora $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ . Ciò equivale a un sistema lineare omogeneo, quindi i vettori di $I$ sono indipendenti $⟺\text{Sol}(A\mid 0)=\{0\},A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$. Abbiamo già visto $\text{rg}(A)=3$, quindi per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile; quindi $I$ è libero.

2. Generatore di $W$

Per mostrare che $I$ genera $W$ devo verificare che $\forall b\in W$ si ha che $b\in {\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(I)$ ovvero $\forall b\in W$ il sistema $AX=b$ è compatibile.

Il sistema $AX=b$ è compatibile perché il rango di $A$ è uguale al rango di $(A\mid b)$ ($=3$), quindi $I$ è generatore.

3. Base di $W$

$I$ è una base di $W$, perché al tempo stesso è insieme libero e generatore di $W$.