composizione

• $f=X,Y,\Gamma$
• $\gamma =(Y,Z,\Xi )$

Definiamo la composizione delle applicazioni $f\circ g=(X,Z,\Xi )$

$\Xi =\{(x,z)\in X\times Z:\exists y\in Y\text{con}(x,y)\in \Gamma \wedge (y,z)\in \Xi \}$

Dimostriamo che $\Xi$ è il grafo di un applicazione: $\forall x\in X\exists !z\in Z:(x,z)\in \Xi$?

1. Siccome $f$ è un’applicazione, $\exists !y\in Y$ con $(x,y)\in \Gamma$.
2. Inoltre, siccome $g$ è un’applicazione, $\exists !z\in Z:(y,z)\in \Xi$
3. Quindi $\forall x\in X\exists !z\in Z\text{con}(x,z)\in \Xi$.
4. Infatti si ha che l’esistenza di $y\in Y$ che soddisfa simultaneamente $(x,y)\in \Gamma$ e $(y,z)\in \Xi$.

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Le funzioni $g\circ f=(X,Z,\Xi )$ appena definite si chiamano composizioni di $f$ con $g$.

È definita ponendo $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Sia dato un diagramma $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }T$ abbiamo $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

Associatività dell’applicazione $\circ$

Proposizione: $X\stackrel{f}{\to }Y$

• $f$ è biiettiva $⟺$ $\exists g:Y\to X:(f\circ g=I\wedge g\circ f={\text{Id}}_X)$

Ovvero si ha un diagramma $X\stackrel{f}{\to }Y,Y\stackrel{g}{\to }X,X\stackrel{{\text{Id}}_X}{\to }X,Y\stackrel{{\text{Id}}_Y}{\to }Y$ ${\text{Id}}_X$ = identità sull’insieme $X$.

Si dice che $g$ è l’inversa di $f$ e si scrive $g^{\prime }=f^{-1}$.

Dimostrazione: $f$ è biiettiva, ovvero $\forall y\in Y\exists !x\in X:f(x)=y$, ovvero $\forall y\in Y\exists (x,y)\in \Gamma$.

Poniamo $\exists !g(y)=x:f(x)=y$. Si ha subito che $g$ è un’applicazione.

Calcoliamo, $\forall x\in X,(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=x⟺g\circ f={\text{Id}}_X$

Per mostrare che $f\circ g={\text{Id}}_Y$ si procede analogamente.