L’insieme della parti è l’insieme di tutti i sottoinsiemi possibili di A.
N.B.: L’insieme delle parti CONTIENE l’INSIEME CHE CONTIENE L’INSIEME VUOTO: .
Si scrive come P(A) = {x|xA} oppure .
Dimostrazione della non numerabilità di
Tesi: non è numerabile → Tesi della dimostrazione per assurdo: è numerabile
- Sappiamo che ogni insieme (numerabile) è assimilabile a (rappresentato da) una sequenza infinita di 0 e di 1 per mezzo della funzione caratteristica di un insieme .
- Se l’insieme è numerabile, si può costruire una tabella nella quale ogni colonna rappresenta di un’elemento (righe della tabella) di ogni sottoinsieme di .
QUESTO È BASATO 🗿💪🗣️🗣️🗣️ 🗣️🗣️🗣️ 🔥🔥🔥🔥🔥🔥 sic(k). Adolfo Piperno
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | … |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | … |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | … |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | … |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | … |
| n | … | … | … | … | … | … |
- Consideriamo la diagonale della tabella
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | (0) | 1 | 0 | 0 | 1 | … |
| 1 | 0 | (1) | 1 | 1 | 1 | … |
| 2 | 0 | 1 | (1) | 0 | 1 | … |
| 3 | 0 | 1 | 1 | (1) | 0 | … |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | (1) | … |
| n | … | … | … | … | … | (…) |
- La diagonale è una sequenza infinita di 0 e di 1, quindi è un sottoinsieme di , quindi per la definizione della tabella, questo insieme è una colonna della tabella.
- Complementiamo il sottoinsieme della diagonale ottenendo , e osserviamo che anch’esso è un’elemento di , rappresentato da una colonna della tabella.
- Essendo una colonna della tabella, esso è necessariamente attraversato da la diagonale.
- Cosa c’è all’incrocio fra e la diagonale? Nulla, perché se nella posizione dell’incrocio avrebbe 0, allora (il suo complemento) avrebbe 1 e viceversa. Ciò è un’assurdo, quindi il teorema è dimostrato.