notazione o-piccolo

Siano $\{x_n\}$ e $\{y_n\},y_n\ne 0$ due successioni reali. Si dice che $x_n$ è o piccolo di $y_n$ se ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x_n}{y_n}=0$ In tal caso si scrive $x_n=o(y_n)$, (o $f(x)=o(g(x))$ se si parla di funzioni).

N.B.: $o(1)$ indica un infinitesimo generico, infatti se $\frac{x_n}{1}\to 0$ allora $x_n\to 0$.

Ovviamente tutto ciò espresso sopra è valido anche per le funzioni tramite il teorema ponte, infatti questa notazione viene usata per individuare l’ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di $x$ ad un determinato valore o a infinito. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x_n}{y_n}=0$ Esempi:

• $x^{n+k}=o(x^n)$ con $k\ge 1$ per $x\to 0$
• $x^n=o(x^{n+k})$ con $k\ge 1$ per $x\to +\infty$
• $x^{n}o(x^k)=o(x^{n+k})$ per $x\to 0$

proprietà degli o-piccolo

• Moltiplicazione per una costante (la costante è trascurabile): $o(c\bullet g(x))=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$ $c\bullet o(g(x))=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$
• Potenza di una funzione (stabilità dell’$o$ all’applicazione della potenza): $\text{ Se }f(x)=o(g(x))\text{ per }x\to x_0$ $\text{ Allora }[f(x){]}^a=o([g(x){]}^a)\text{ per }a>0$
• Somma tra o-piccolo $o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))\text{ per }x\to x_0$
• Prodotto tra una funzione e un o-piccolo $o(f(x))o(g(x))=o(f(x)g(x))\text{ per }x\to x_0$
• O-piccolo di o-piccolo $o(o(f(x)))=o(f(x))\text{ per }x\to x_0$