sottogruppo normale

Ci sono quattro definizioni equivalenti di sottogruppo normale, quindi un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ si può dire normale (scrivendo $H◃G$) anche se se ne dimostra una sola:

1. Le classi laterali destre e sinistre coincidono: $\forall g\in G(gH=Hg)$
2. Definizione con le relazioni di equivalenza destra e sinistra: $\sim =\approx$
3. $\forall g\in G,h\in H(\exists h^{\prime }\in H:gh=h^{\prime }g)$
4. $\forall g\in G(gH{g}^{-1}=H)$, cioè $H^g=H$

Dimostrazione: todo

$3⟹1⟹2⟹3$.

N.B.: In un gruppo abeliano tutti i sottogruppi sono normali.