teorema del limite centrale

Siano $X_1,X_2,\dots ,X_n$ variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con media $\mu$ e varianza ${\sigma }^2$.

Allora

$$\frac{{\sum }_{k=1}^n(X_k)-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}\approx N(0,1)$$

(legge Gaussiana standard) per un numero $n$ di variabili indipendenti sufficientemente grande.

N.B.: Le medie e varianze sono uguali per tutte le variabili aleatorie perché sono identicamente distribuite, cioè hanno la stessa legge.

Questo teorema ci dice che ogni volta che abbiamo a che fare con somme di tante variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, possiamo usare l’approssimazione Gaussiana.

In particolare

$$\forall x\in \mathbb{R}\mathbb{P}\left(\frac{{\sum }_{k=1}^n(X_k)-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}\le x\right)\approx \varphi (x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}dy$$

Esempio

Lancio 2 dadi 300 volte. Sia $X$ il numero di lanci che risultano nella coppia $(1,1)$.

Notiamo che

$$X=\sum _{k=1}^{300}{X}_k\text{dove}{X}_k=1((1,1)\text{al lancio}k)$$

Allora

$$\mathbb{E}(X_1)=\mathbb{P}((1,1)\text{al lancio}k)=\frac{1}{36}\text{Var}(X_1)=\frac{1}{36}\cdot \frac{35}{36}$$

Usando l’approssimazione Gaussiana otteniamo

$$\mathbb{P}(X\ge 10)=\mathbb{P}\left(\sum _{k=1}^{300}{X}_k\ge 10\right)=\mathbb{P}\left(\frac{{\sum }_{k=1}^{300}{X}_k-300\cdot \frac{1}{36}}{\sqrt{300\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{35}{36}}}\ge \frac{10-300\cdot \frac{1}{36}}{\sqrt{300\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{35}{36}}}\right)\approx \mathbb{P}(N(0,1)\ge 0.59)$$ $$=27,76\%$$