funzione

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\to f(x)$ $f:A\to B$

• $f$ è la legge che associa ad ogni elemento di $A$ un’elemento di $B$
• $A$ è il dominio (insieme degli input)
• $B$ è il codominio (insieme degli output)

Una funzione è una relazione ($F\subseteq A\times B$, $\forall a\in A\exists !b\in B|(a,b)\in F$) che associa (l’insieme A) il dominio e (B) il codominio. Esempio: $f(a)=a^2\to \{(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}|b=a^2\}=(0,0)(1,1)(2,4)(3,9)..(a,a^2)$

Per quantificare il numero di elementi di un insieme si usa il concetto di cardinalità (o potenza).

L’immagine di $f(x)$ è $im(A)=\{f(x),x\in A\}$, oppure $im(A)=\{b|(a,b)\in F\}$, $F\subseteq A\times B$

proprietà delle funzioni

Una funzione si dice ricorsiva quando la sua definizione fa riferimento a se stessa.

Esempio:

• $0!=1$
• $n!=(n-1)!\text{ se }n>0$

$f:A\to B$ si dice suriettiva se $f(A)=B$, cioè se l’insieme delle immagini coincide con B.

N.B.: per rendere una funzione suriettiva si restringe il dominio.

$f:A\to B$ si dice iniettiva se $x\ne y⟹f(x)\ne f(y)$, cioè se non esistono due argomenti con lo stesso valore.

N.B.: per rendere una funzione iniettiva si restringe il di codominio.

$f:A\to B$ si dice biiettiva o corrispondenza biunivoca se $\forall b\in B\exists !a\in A|f(a)=b$. Solo le funzioni biettive sono invertibili.

Data $f:A\to B$ iniettiva e suriettiva esiste la funzione inversa $f^{-}1:B\to A$, che ha la proprietà: f^{-1}(f(x))=x\ \forall x \in A$$$$f(f^{-1}(x))=x\ \forall x \in A

composizione delle funzioni

$f:A\to B$ $g:B\to C$

$g\circ f:A\to B\to C$ $g\circ f:A\to C$ $x\to g(f(x))$

teoremi delle funzioni

• teorema dell’esistenza degli zeri
• teorema dei valori intermedi
• teorema di Weierstrass
• teorema di Weierstrass + Valori Intermedi generalizzati