teorema dei valori intermedi

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua. La funzione assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$.

versione più potente

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua. La funzione assume tutti i valori tra $f(a)$ e $f(b)$, e per il teorema di Weierstrass esiste minimo e massimo. $\forall t\in \mathbb{R}m\le t\le M\exists c\in [a,b]|f(c)=t⟹f([a,b])=[m,M]$

generalizzato per le funzioni che tendono a + e - infinito nei due estremi dell’intervallo

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua. Se ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty =-{\lim }_{x\to b^{-}}f(x)⟹f((a,b))=\mathbb{R}(\nexists M,\nexists m)$