disuguaglianza di Markov

Sia $X$ una variabile aleatoria non negativa ($X$ a valori in $S_X\subseteq [0,\infty )$), con media $\mathbb{E}(X))$. Allora $\forall \lambda >0$ vale che

$$\mathbb{P}(X\ge \lambda )\le \frac{\mathbb{E}(X)}{\lambda }$$

Intuizione:

retta numerica: 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  ...
                              ^-------------------...
                              lambda
tutti gli X dopo lambda hanno probabilità AL MASSIMO E(X)/lambda

Dimostrazione: dimostro che $\mathbb{E}(X)=\lambda \cdot \mathbb{P}(X\ge \lambda )$

Sostituiamo la variabile aleatoria con la variabile aleatoria indicatrice.

$$\mathbb{E}(X)\ge \mathbb{E}(X\cdot 1(X\ge \lambda ))\ge \mathbb{E}(\lambda \cdot 1(X\ge \lambda ))=\lambda \cdot \mathbb{E}(1(X\ge \lambda ))=\lambda (1\cdot \mathbb{P}(X\ge \lambda )+0\cdot \mathbb{P}(X<\lambda ))$$ $$\lambda \cdot \mathbb{P}(X\ge \lambda )$$