misura di probabilità

Sia $\Omega$ uno spazio campionario discreto, e chiamiamo i suoi elementi (gli esiti) ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ Una misura di probabilità (distribuzione di probabilità su $\Omega$) è univocamente determinata dai valori ($p$) che assume su ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$, che chiamiamo $p_{w_1},p_{w_2},p_{w_3},\dots$. Quindi $\forall \omega \in \Omega (\mathbb{P}(w):=p_w)$. Infatti dai pesi $(p_{\omega }{)}_{\omega \in \Omega }$ otteniamo, per ogni evento $A\subseteq \Omega ,\mathbb{P}(A)={\sum }_{\omega \in A}{p}_w$.

N.B.: Questo deriva dall’additività delle misure di probabilità. Infatti, scrivendo $A={\cup }_{\omega \in A}\{\omega \}$ (unione disgiunta), abbiamo che

$$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}({\cup }_{\omega \in A}\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}\mathbb{P}(\{\omega \})$$

Cioè la somma delle probabilità di tutti i singleton $\{\omega \}$.

N.B.: La collezione $(p_{\omega }{)}_{\omega \in \Omega }$ è una collezione di numeri in $[0,1]$ tale che ${\sum }_{\omega \in \Omega }{p}_{\omega }=1$.

Cosa significa specificare una misura di probabilità

Quindi specificare una misura di probabilità su $\Omega$ equivale a specificare una collezione di “pesetti” $(p_{\omega }{)}_{\omega \in \Omega }$ tale che:

• $\forall \omega \in \Omega (p_{\omega }\in [0,1])$
• ${\sum }_{\omega \in \Omega }{p}_{\omega }=1$

Trucco: In realtà basta controllare che tutti i pesetti siano positivi e che ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{p}_k=1$. In questo modo sicuramente la proprietà $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\star }(p_k\in [0,1])$ sarà valida, perché gli addendi sono minori della somma.

Caso particolare: “pesetti” uguali su $\Omega$ finito.

Se $\Omega$ è un’insieme finito e poniamo $\forall \omega \in \Omega (p_{\omega }=p)$ per qualche $p\in [0,1]$.

Allora necessariamente $p=\frac{1}{|\Omega |}$.

Esempi

1. Lancio una moneta truccata

$\Omega =\{T,C\}$. La distribuzione di probabilità che descrive il lancio di una moneta truccata è data da

$$\{\begin{array}{l}{p}_T=p\\ p_C=1-p\end{array}\text{per}p\in [0,1]\text{probabilitaˋ di vedere testa}$$

Questa è la distribuzione di Bernoulli

2. Su $\Omega =\{1,2,3,4\}$ definiamo la distribuzione di probabilità

$$\{\begin{array}{l}{p}_1=0.2\\ p_2=0.3\\ p_3=0.45\\ p_4=0.05\end{array}$$

Controlliamo che sia una valida distribuzione di probabilità:

• $\forall \omega \in \Omega (p_{\omega }\in [0,1])✓$
• ${\sum }_{\omega \in \Omega }{p}_{\omega }=1✓$

3. Spazio campionario infinito

Sia $\Omega =\mathbb{N}$.

Su $\Omega$ consideriamo la collezione di pesetti $p_k=e^{-1k},k\in \mathbb{N}$.

$(p_1=e^{-\lambda },p_2=e^{-2\lambda },p_3=e^{-3\lambda },\dots )$. Determinare per quali valori di $\lambda \in (0,+\infty )$ questa collezione definisce una distribuzione di probabilità su $\Omega =\mathbb{N}$.

Osserviamo che la condizione $\lambda >0$ è necessaria per avere $\forall k\in \mathbb{N}(p_k\in [0,1])$.

Controlliamo che ${\sum }_{\omega \in \Omega }{p}_{\omega }=1$:

${\sum }_{k=1}^{+\infty }{e}^{-\lambda k}={\sum }_{k=1}^{+\infty }(e^{-\lambda }{)}^k={\sum }_{k=0}^{+\infty }(e^{-\lambda }{)}^k-1$

Ricordando che ${\sum }_{k=0}^{+\infty }{x}_k=\frac{1}{1-x},\text{per}|x|<1$

$\frac{1}{1-e^{-\lambda }}-1=1\to \lambda =\ln (2)$

In conclusione, la collezione di pesetti $(e^{-\lambda }{)}^k=p_k$ definisce una distribuzione di probabilità su $\mathbb{N}$ se e solo se $\lambda =\ln 2$. In tal caso $p_k=e^{-\lambda k}=\frac{1}{2^k}$.