teorema di Weierstrass

Data $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua, allora $\exists x_m,x_M\in [a,b]|m=f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)=M\forall x\in [a,b]$

$m$ è il minimo assoluto di $f(x)$ $M$ è il massimo assoluto di $f(x)$ $x_m$ si dice punto di minimo $x_M$ si dice punto di massimo

Cioè ogni valore assunto da $f(x)$ è compreso tra il suo massimo e minimo assoluto

Consideriamo un $y=t$ generico. Vale che: $v_m\le t\le v_M⟹\exists c|f(c)=t$ invece se $t>v_M\wedge t<v_m⟹\nexists c\in [a,b]|f(c)=t$

Ciò significa che: $f([a,b])=\{f(x),x\in [a,b]\}=[v_m,v_M]$ per ogni funzione continua.

teorema di Weierstrass generalizzato

Se $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è continua, allora

• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty ={\lim }_{x\to b^{-}}f(x)⟹\exists m$
• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty ={\lim }_{x\to b^{-}}f(x)⟹\exists M$