sottospazio vettoriale

È una “versione arricchita” del concetto di sottogruppo.

Sia $V$ è uno spazio vettoriale su un campo $K$ ($V/K$) (che contiene gli scalari). Sia $W$ un sottogruppo di $V$ ($W<V$). $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se $\forall \lambda \in K,\forall v,w\in W$ vale che $\lambda \cdot w\in W\wedge v+w\in W$.

Criteri equivalenti:

1. $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se e solo se $\forall w,w^{\prime }\in W,\forall \lambda \in K(w+\lambda w^{\prime }\in W)$.
2. $\forall \alpha ,{\alpha }^{\prime }\in K,\forall w,w^{\prime }\in W(\alpha w+{\alpha }^{\prime }{w}^{\prime }\in W)$. La proposizione (2) è un caso generale della proposizione (1), ma in realtà $1⟹2$.

Si noti che se $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$, allora con le operazioni di $V$, $W$ è esso stesso uno spazio vettoriale. $W$ è esso stesso un sottospazio vettoriale di $K$.

Spazi vettoriali banali

Ne esistono due:

• $\{0_V\}$ (singleton dell’elemento neutro dello spazio vettoriale $V$, su cui valgono le operazioni di $V$)
• $V$ stesso.

Alcune proprietà dei sottospazi

1. $W_1,W_2$ sono sottospazi vettoriali di $V⟹W_1\cap W_2$ è un sottospazio di $V$.
2. $W_1,W_2$ sono sottospazi vettoriali di $V⟹W_1\cup W_2$ non è per forza un sottospazio di $V$.

3. • Span: dato lo spazio vettoriale $V$ e un insieme $I$ di vettori $\in V$, detti vettori generatori, lo span è l’intersezione di tutti i sottospazi vettoriali di $V$ che contengono $I$. Si chiama anche il più piccolo sottospazio di $V$ generato da $I$, copertura lineare di $I$ o $\text{Vett}(I)$. Una definizione più utile è “l’insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari finite dell’insieme dei generatori, a coefficienti in $K$ (chiamato sottospazio vettoriale generato da essi)“.

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Esercizi

Sia ${\mathbb{R}}^3=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):x,y,z\in \mathbb{R}\right\}$

1.

$K=\mathbb{R}$

$W=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):x+2y-3z=0\right\}$

Dimostrare che $W$ è anche un sottospazio vettoriale di ${\mathbb{R}}^3$.

Quindi dobbiamo verificare che:

• $W$ non è vuoto: Il vettore $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ rispetta la condizione di appartenenza in $W$, quindi $W$ ha almeno un elemento.
• La somma in $W$ è chiusa in esso: Siano $v,w\in W$. Se $v+w=\left(\begin{array}{c}{x}_v+x_w\\ y_v+y_w\\ z_v+y_w\end{array}\right)$ rispetta $x+2y-3z=0$ allora $v+w\in W$. $(x_v+x_w)+2(y_v+y_w)-3(z_v+z_w)=0$, i termini si semplificano in $0=0$, quindi $v+w\in W$.
• Il prodotto di $w\in W$ per uno scalare $k\in K$ è chiuso in $W$. Se $kv=\left(\begin{array}{c}k{x}_v\\ k{y}_v\\ k{z}_v\end{array}\right)$ rispetta $x+2y-3z=0$ allora $kv\in W$. $k{x}_v+2k{y}_v-3kv=0$, i termini si semplificano in $0k=0\to 0=0$, quindi $kv\in W$.

2.

Mostrare che $W^{\prime }:={\text{Vett}}_{\mathbb{R}}\left(\underset{=w_1}{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}\right)\subset W$, ma che $W\ne W^{\prime }$, trovando $w_2\in W-W^{\prime }$

Verificando la chiusura in $W^{\prime }$ dell’addizione tra vettori e il prodotto tra un vettore e uno scalare $\in K=\mathbb{R}$, usando la condizione di appartenenza in $W$, si dimostra che $W^{\prime }$ è un sottospazio di $W$.

Tuttavia $W\ne W^{\prime }$, perché $\exists w_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 0.5\\ 1\end{array}\right),w_2\in W\wedge w_2\notin W^{\prime }$.

3.

Mostrare che ${\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(\{w_1,w_2\})\subseteq W$, mostrare che $W={\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(\{w_1,w_2\})$.

$${\text{Vett}}_{\mathbb{R}}(\{w_1,w_2\})=\alpha w_1+\beta w_2=\left\{\left(\begin{array}{c}\alpha +2\beta \\ \alpha +0.5\beta \\ \alpha +\beta \end{array}\right):\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\right\}$$

Troviamo la forma chiusa:

• sia $v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$,
• risolviamo il sistema $\{\begin{array}{l}x=\alpha +2\beta \\ y=\alpha +0.5\beta \\ z=\alpha +\beta \end{array}$ , ottenendo $x+2y-3z=0\equiv W$.