ordine

Dato un gruppo $G$ e un suo elemento $e$ si definisce ordine di $e$, e si scrive $\text{ord}(e)$, il minimo $i$ per il quale è $e^i={\text{1}}_G$ (dove $1_G$ è l’elemento neutro di $G$).

Esempio con un gruppo di permutazioni: $g=(123)\in S_3$

• $g^1=g\ne {\text{Id}}_{S_3}$
• $g^2=(312)\ne {\text{Id}}_{S_3}$
• $\boxed{g^3={\text{Id}}_{S_3}}$

Quindi $\text{ord}(g)=3$

Calcolare l’ordine delle permutazioni non cicliche

Una permutazione $\delta$ non identificabile come un unico ciclo può essere scomposta in modo unico in un più supporti disgiunti (“sotto-cicli”) $c_i$.

In questo caso, avendo $\delta =c_1\circ c_2\circ \cdots \circ c_n$, l’ordine di $\delta$ sarà definito come il (mcm) minimo comune multiplo tra gli ordini dei suoi supporti disgiunti.

$$\text{ord}(\delta )=\text{mcm}(\text{ord}(c_1),\text{ord}(c_2),\dots ,\text{ord}(c_n))$$